Дедекинд

Cтраница 2

Дедекинду кольца без ненулевых абелевых идемпотентов, содержащие конечный идемпотент, не принадлежащий никакому собственному прямому слагаемому; Ilinf - бесконечные по Дедекинду кольца с условием, указанным при определении IIfin; III - кольца без ненулевых конечных идемпотентов. [16]

Дедекиндом, a R - модель Кантора), то эти модели изоморфны: существует взаимно однозначное отображение модели R на R, при котором сумма переходит в сумму, произведение - в произведение, а также сохраняются неравенства. [17]

Дедекиндом встала задача выделить из таких систем ( счетных множеств) некую единственную систему - последовательность натуральных чисел, - которая служила бы их естественным представителем, подобным тому, каким в канторовской теории множеств служит с самого начала множество натуральных чисел. [18]

Далее Дедекинд рассматривает фиксированное S, его элементы и подмножества. [19]

Деление числовой прямой произвольной иррациональной точкой А. а - рациональное число из нижнего класса, Ь - рациональное число из. [20]

Идея Дедекинда состоит в том, что понятие разреза и является определением иррационального числа. Пилений класс этого разреза состоит из всех отрицательных рациональных чисел и тех положительных рациональных чисел, квадрат которых меньше двух; верхний класс состоит из всех остальных рациональных чисел. [21]

Программа Дедекинда удалась только потому, что в кольцах целых алгебраических чисел идеалы образуют свободный моноид и в этих кольцах нет лишних идеалов. [22]

Аксиома Дедекинда дана здесь в проективной форме. Нетрудно формулировать ее применительно к евклидовой прямой. [23]

Определение Дедекинда не подразумевает наличия у множества мощности, и потому любое множество либо конечно по Дедекинду, либо бесконечно по Дедекинду. При выполнении аксиомы выбора оба определения совпадают, при отрицании АС могут существовать такие множества, которые не имеют мощности, но тем не менее бесконечны ( или конечны) по Дедекинду. Оба эти факта вытекают из следующей теоремы. [24]

Для Дедекинда ситуация была иной. [25]

Согласно Дедекинду ( Непрерывность и иррациональные числа, 1872), мы не имеем никакого основания-принять за вещественные числа только часть этих сечений. Поэтому мы постулируем в геометрии как аксиому ( аксиома Дедекинда) существование таких отрезков, которые находятся к некоторому принятому за единицу отрезку в арифметически определенном посредством сечения отношении. В этой логической полноте, системы находит свое отражение данная в созерцании сплошность ( Luckenlosigkeit) точек пространства. Благодаря введению дедекиндова понятия числа анализ становится независимым от геометрии, только теперь он оказывается пригодчым для изучения непрерывности и предоставляет геометрии средства для доказательства опирающихся на принцип непрерывности теорем, вроде, например, следующей: непрерывная линия, соединяющая какую-либо точку, расположенную внутри круга, с точкой, расположенной вне его, пересекает окружность. На то обстоятельство, что такого рода теоремы лишены у Эвклида надлежащего обоснования, обратил внимание еще Лейбниц в связи с первым, же встречающимся у Эвклида построением равностороннего треугольника ABC по точкам А и В. При этом построении из точки Л, как из центра, описывается окружность, проходящая через точку В, а из точки В - окружность, проходящая через точку А; однако у Эвклида не доказывается, что эти окружности имеют общую точку С. [26]

Идеалы предложил Дедекинд, который намеревался, вводя идеальные элементы, восстановить основной закон единственности разложения числа на простые множители, нарушавшийся в алгебраических числовых полях. Аналогичным образом наибольший общий делитель двух чисел а и Ъ можно интерпретировать как множество всех чисел вида ах by, где х и у независимо принимают значения из множества всех целых чисел. Но в случае алгебраических числовых полей аналогичное утверждение перестает быть верным, и поэтому возникает необходимость рассматривать в качестве делителей не только числа, но и идеалы. По определению подмножество кольца R называется идеалом, если сумма и разность любых чисел из подмножества принадлежат ему же, равно как и произведение любого числа из подмножества и любого числа из кольца. С другой стороны, понятие идеала возникло в алгебраической геометрии. Алгебраическая поверхность в пространстве определяется одним алгебраическим уравнением / 0, где / - многочлен от координат. Все многочлены такого типа образуют идеал в кольце многочленов; алгебраическое многообразие состоит из точек, в которых все многочлены идеала обращаются в нуль. Именно для таких идеалов справедлива теорема Гильберта о базисе - один из основных инструментов Гильберта в изучении инвариантов. Эта теорема утверждает, что любой идеал кольца многочленов имеет конечный базис. Теорема Не-тера о вычетах содержит критерий, позволяющий нам решать, принадлежит ли тот или иной многочлен идеалу, элементы которого имеют общими лишь конечное число нулей. Для полиномиальных идеалов Ласкер, бол ее известный нематематикам как неоднократный чемпион мира по шахматам, получил результаты, показьюающие, что свойства таких идеалов значительно отличаются от того, что обнаружил Дедекинд в полях алгебраических чисел. [27]

Теоретико-множественный формализм Дедекинда - Рассела - Уайтхеда достойно дополнил следующую ( после Эвклида) серию демонстраций того, что из немногих примитивов можно вывести много математических понятий, хотя бы и длинным и извилистым путем. Однако у ребенка проблема состоит вовсе не в том, чтобы овладевать хоть какими-то понятиями; ему нужно познавать реальный мир. С точки зрения доступных ему понятий весь формализм теории множеств в подметки не годится одной-единственной, более древней, более простой и, возможно, более великой идее: представления интуитивной вещественной прямой бесконечной десятичной дробью. [28]

Знаменитая брошюра Дедекинда Чем являются и чем должны быть числа. То, что может быть доказано, не должно принимать в науке на веру, Это высказывание, конечно, характерно для образа мышления большинства математиков, и тем не менее оно как принцип несостоятельно. Вряд ли та цепочка опосредованных рассуждений, которую мы называем доказательством, способна порождать какую бы то ни было веру без того, чтобы мы не удостоверились путем непосредственного усмотрения в правильности каждого отдельного шага. Тот же, кто подходит к другим наукам, например к философии, как математик, требуя дефиниций и дедукций в математическом стиле, поступает ничуть не умнее зоолога, который стал бы отвергать числа на том основании, что они не являются живыми существами. [29]

Кронекера и Дедекинда, но и разработал эту теорию столь тщательно, что почти завершил ее, по крайней мере для случая полной линейной группы. [30]

Страницы: 1 2 3 4