Cтраница 3
Согласно аксиоме Дедекинда существует точка С, производящая деление на классы. [31]
Жордана - Дедекинда для цепей ( все максимальные цепи между двумя фиксированными элементами имеют одну и ту же длину), что позволяет развивать в пих теорию размерности. [32]
Возвращаясь к Дедекинду, обратим внимание на то, что его теорема 159 не была изолированной. [33]
Небезынтересно, что Дедекинд сформулировал и такие определения конечности и бесконечности, в которых положительно определялось понятие конечного множества, а понятие бесконечного множества давалось отрицательным определением. [34]
Асимптотическое решение проблемы Дедекинда было получено А.Д. Коршуновым в 1980 г. Оно основано на описании типичных монотонных булевых функций и оценках числа подмножеств вершин слоев единичного n - мерного куба, имеющих заданную мощность границы. [35]
Проводя в-жизнь идею Дедекинда, следует, конеч но, начать с определения умножения идеалов. [36]
Любые две системы Дедекинда - Пеано изоморфны. [37]
Главная же цель Дедекинда - построить арифметику натуральных чисел на основе абстрактной теории множеств. План его работы состоял в том, чтобы создать некую логическую теорию ( на теоретико-множественной базе), из которой получалась бы арифметика в том виде, в каком она сложилась исторически. Поэтому во главу своих построений он и ставит понятие множества и понятие отображения множеств друг в друга. Другими словами, подходы Кантора и Дедекинда в этом отношении противоположны. [38]
Прямое утверждение этой теоремы Дедекинд доказал относительно просто, но существенно опирался на рассмотренную выше теорему 74, доказательство которой, как мы уже отметили, опиралось у него на аксиому выбора. Но там обращение к этой аксиома было замаскировано использованием не определенного им понятия цепи элемента. [39]
Наиболее ранние ее доказательства Дедекинда [2, 6], не опубликованные им самим, а появившиеся в печати много позднее, существенно опирались на его теорию цепей, связанную, как мы говорили ( см. с. [40]
Теперь трудность передвигается на дедекиндов смысл конечного множества: легко видеть, что множество, конечное в обычном смысле, йонгчпо и в дедекипдовом смысле. N, нужно либо перечислять во времени, либо применить принцип свободного выбора. [41]
Насколько далеко увело бы Дедекинда обсуждение этих трудностей в 1888 г., видно из того, что и спустя почти столетие ситуация не очень-то прояснилась. [42]
Чрезвычайно интересно критическое замечание Дедекинда по адресу тех, кто рассматривает арифметику натуральных чисел как исходную, принимаемую без обоснования. Сторонников такого взгляда он упрекает в самом пагубном, порочном круге и видит выход из него в своей теории цепей и цепей множеств. В связи с этим любопытно вспомнить спор между Пуанкаре и Цер-мело по поводу доказательства теоремы эквивалентности. Он описан нами в статье [2], и здесь мы лишь отметим, что Пуанкаре считал [ 2, с. Так что даже с фактическим использованием столь мощного средства рассуждений, как принцип селекции, и допущением единственности арифметики Дедекинду не удалось обойтись без непредикативности ( без которой, впрочем, не обходится и современная теория множеств. [43]
В своем письме к Дедекинду, написанном в самом начале кризиса математики 1875 - 1925 гг., Кантор, ошеломленный своими поразительными находками, восклицает, переходя при этом с немецкого на французский, что он не может поверить в то, что он видит ( Je le vois, mais je ne le crois pas. И математика, словно бы поняв намек с полуслова, принимается усердно избегать обманчивых и искусительных ликов чудовищ. Какой контраст между безудержной вычурностью до - и контрреволюционной геометрии и практически полным отсутствием какого бы то ни было визуального сопровождения в работах Вейерштрасса, Кантора и Пеано. [44]
Этот результат, установленный Дедекиндом в 1900 году, на многие годы закрепил за модулярными решетками другое название: дедекиндовы решетки. [45]