Cтраница 3
Поскольку F является обобщенной свободной алгеброй ( VI, 4.1), отображение / 0 может быть продолжено до гомоморфизма g Q-алгебры F в булеву алгебру А. [31]
Q-алгебра на комплекте St задается представлением /: Q - Ор И, согласованным с типами. Для моделей исходим из множества символов отношений Ф и каждый р Ф помечен типом отношения. Модель на § 1 задается представлением /: Ф - Rel SI, также согласованным с типами. [32]
Далее определяются конкретные алгебраические структуры: полугруппы, группы, поля, кольца, л шейные пространства, модули. Каждая из них является Q-алгеброй для подходящей системы операций И и для каждой из них сохраняются зсе определения ( гомоморфизма, конгруэнции, декартова кроизведения и др.), данные выше для Q-алгебр. [33]
На самом деле обозначение алгебры записывается короче. Кроме того, говорят об Q-алгебре А, или, коротко, об алгебре 4, если набор Q уже отмечен. Тогда подчеркиваются эти / в определении алгебры. [34]
Если U и V - операторы замыкания и выполняется VU С / У, то и оператор UV есть оператор замыкания. При этом если X - класс Q-алгебр, то ( UV) X есть наименьший среди содержащих X класс со свойством замкнутости относительно U и V одновременно. [35]
В силу определения 11 множество Т0 / Е становится Й - ал-геброй. Каждому и Т соответствует в TQ / E ( как и в любой другой Q-алгебре) операция, которую мы будем обозначать звездочкой. [36]
Рассмотрим некоторые свойства группы Г, связанные с этим ее вложением. Такие свойства подгрупп из Г, как ограниченность, локальная ограниченность и алгебраичность, будем связывать с регулярным представлением Г относительно Q-алгебры К. К, порожденная подмножеством X. Легко видеть, что ограниченность подгруппы Е С Г равносильна тому, что Ей есть Q-алгебра с конечным числом образующих, а локальная ограниченность Е означает, что подгруппы из Е с конечным числом образующих ограничены. Понятно также, что если задано некоторое представление К относительно Q-алгебры G, индуцирующее пару ( G, Г), то из локальной ограниченности Е в К вытекает, что Е действует и в G как локально ограниченная группа. Поэтому локальную ограниченность относительно К, внутреннюю локальную ограниченность, можно было бы называть сильной локальной ограниченностью. [37]
Заметим далее, что язык УИП допускает естественное расширение за счет добавления некоторого набора и символов алгебраических операций. При таком расширении в формулы на местах символов переменных и предметных символов могут входить еще, как нетрудно понять, и слова ( термы) - элементы абсолютно свободной Q-алгебры, построенной над множеством предметных символов и символов переменных. Легко видеть, каким образом следует определить понятие модели системы формул с символами операций: на этот раз моделью служит алгебраическая система в том смысле, как она была выше определена. [38]
Далее определяются конкретные алгебраические структуры: полугруппы, группы, поля, кольца, л шейные пространства, модули. Каждая из них является Q-алгеброй для подходящей системы операций И и для каждой из них сохраняются зсе определения ( гомоморфизма, конгруэнции, декартова кроизведения и др.), данные выше для Q-алгебр. [39]
Q-алгебр, и тогда уже рассматриваются произвольные классы Q-алгебр. [40]
Алгебра G называется коммутативной, если любые две ее операции, в том числе и совпадающие, перестановочны на ней. Отсюда следует, в частности, что в коммутативной алгебре имеется не более чем один выделенный элемент, который будем называть ее нулем. Понятно, что класс всех коммутативных Q-алгебр является примитивным классом. [41]
Q-алгебр, и тогда уже рассматриваются произвольные классы Q-алгебр. [42]
Предположим, что для каждой элементарной формулы а либо а е У; и а е Va, либо а [ ф V, и a ф У. Так как множество всех элементов а, где а - элементарная формула, порождает Q-алгебру Я ( -), то гомоморфизмы А, А2 совпадают. [43]
Класс всех множеств, рассматриваемый вместе с отображениями множеств, есть пример категории. Другой пример такого же рода - это категория Г - комп-лектов с заданным Г относительно отображений комплектов. Пусть теперь и - некоторый набор символов операций, возможно, многосортных. Тогда все Q-алгебры вместе с их гомоморфизмами составляют категорию. [44]
Вначале рассматриваются элементарные формулы. Формула w и / есть тождество Q-алгебры Л, или, что то же, выполняется в А, если любая замена переменных - элементов из X, входящих в записи слов w и w, элементами из А приводит к равенству соответствующих элементов в А. [45]