Cтраница 3
Оказывается, что при определенных а, р, т решение уравнения (5.8) неустойчиво. Исследование устойчивости решения линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом - значительно более сложная задi - ча, чем исследование устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений. [31]
Другими словами, все решения системы (3.161), лежащие на некотором интегральном многообразии Н ( t, X, У), одновременно устойчивы, асимптотически устойчивы или неустойчивы. Поэтому при исследовании устойчивости решений системы (3.161) достаточно взять по одному решению с каждого многообразия соответствующих решений. [32]
Во многих приложениях важное значение имеет задача определения числа нулей данной функции, расположенных в определенной области. Например, при исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений интерес представляют нули характеристического многочлена, расположенные в левой полуплоскости ( см. гл. [33]
В первой части статьи приведены математические модели систем с импульсной модуляцией. Вторая часть посвящена методам исследования устойчивости решений уравнений, описывающих системы с импульсной модуляцией. [34]
Существенно переработана третья часть ( теория устойчивости); в частности, упрощены доказательства теорем, связанных со вторым методом Ляпунова, за счет того, что рассматривается в основном лишь случай автономных систем. В третью часть включен также параграф об исследовании устойчивости решений линейных разностных уравнений. [35]
Построение возмущенных функционалов Ляпунова. Предложенный в § 16 способ построения функций Ляпунова применим к исследованию устойчивости решений систем уравнений с частными производными. [36]
Оказывается, что при определенных а, р, т решение уравнения (5.8) неустойчиво. Исследование устойчивости решения линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом - значительно более сложная задi - ча, чем исследование устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений. [37]
В механике, как известно, решения уравнений равновесия или дифференциальных уравнений движения тел или сред определяют класс возможных состояний равновесия и движения, из которых лишь только часть будет представлять собой реально осуществимые состояния. Отбор из всего класса возможных состояний равновесия и движения отдельной группы реально осуществимых состояний производится в механике с помощью исследования устойчивости соответственных решений уравнений. Реально осуществимыми из всего класса возможных состояний будут только те состояния равновесия и движения, которые будут удовлетворять условиям устойчивости. Эти условия устойчивости устанавливаются с помощью ряда методов, из которых наиболее общим и строго обоснованным является метод Ляпунова. [38]
Значения парамеров, удовлетворяющих этому решению, являются одновременно и решением задачи идентификации. В связи с этим все сводится к поиску функции ( &. Ляпунова исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений. [39]
В однородных системах ( в бесконечном пространстве) все солитоны высших порядков неустойчивы. Примеры исследования устойчивости волноводных решений высших порядков содержатся в гл. Устойчивость можно изучать и в терминах другой пары переменных, если они связаны с переменными Н, Q и q взаимно-однозначным соответствием. [40]
Но если существует еще и решение, не равное тождественно нулю, то заключают о возможной неединственности и неустойчивости решения р, 7 и неустойчивости самого движения среды. Это грубо обоснованное заключение в большинстве случаев оправдывается в опыте. Строгая постановка исследования устойчивости решения уравнении (12.41) принадлежит к числу современных вопросов, не получивших общего решения. [41]
В этом параграфе устанавливаются оценки вспомогательных функций ( скалярных и векторных) на решениях возмущенных систем. При этом как и обычно о возмущениях предполагается, что они в том или ином смысле малы. Полученные оценки применяются далее для исследования устойчивости решений соответствующих систем дифференциальных уравнений. [42]
Этот метод вошел впоследствии в литературу под названием второго метода Ляпунова. Ляпунова с успехом применяются не только для исследования устойчивости решений, но и в качественной теории динамических систем, в теории управления, при доказательстве теорем существования и единственности решений и в других разделах теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [43]
В настоящей главе рассматриваются некоторые примеры моделей реального мира, иллюстрирующие теорию, развитую в предыдущих главах. В параграфе 5.1 описываются математические модели роста конкурирующих популяций, а также модели хищник - жертва и исследуются свойства устойчивости ненулевого равновесия. В параграфе 5.2 изучаются дискретные модели, возникающие в экономике, и анализируется экспоненциальная устойчивость состояния равновесия, отвечающего работающей системе. В параграфе 5.3 рассматриваются консервативные механические системы с некоторыми диссипативнымк силами и изучаются свойства их устойчивости. В параграфе 5.4 представлены модели, взятые из экономики, и с помощью метода вектор-функций Ляпунова доказывается, что рынок стремится к некоторой заданной эволюции независимо от начальных условий. В параграф 5.5. анализируются упругопластичные модели, которые приводят t линейной интегродифференциалыюй системе, и изучается ее устой чивость путем использования метода приведения этой системы к экви валентной линейной дифференциальной системе. Параграф 5.6 посвя щен моделям химической кинетики. Здесь для исследования асимпто тической устойчивости решений реактивно-диффузионной системь применяется метод сравнения с функционалом Ляпунова. В заключи тельном параграфе 5.7 рассматриваются линейная и нелинейная мо дели вооружений и разоружения. [44]