Длина - береговая линия
Cтраница 2
 |
Последовательное увеличение масштаба гипотетической береговой линии. [16] |
Совершенно очевидно, что по мере увеличения масштаба изрезан-ность береговой линии возрастает, и поэтому при каждом последующем увеличении масштаба длину береговой линии необходимо умножать на некоторый больший или меньший постоянный множитель. [17]
Кроме того, в некоторых случаях размерность типа хаусдорфовой непосредственно входит в выражения для измеряемых физических характеристик. Ричардсон при попытке измерить длину береговой линии Англии, которая сильно изрезана [614], Заменив береговую линию ломаной с длиной звена е, Ричардсон обнаружил, что длина ломаной L, Ne при уменьшении е неограниченно растет. [18]
Таким образом, мы видим, что для определения длины береговой линии L с помощью жесткого масштаба / ( например, с помощью циркуля с фиксированным раствором), необходимо сделать N L / 1 шагов, причем величина L меняется с I так, что N зависит от / по закону N ( R / l ] D. В результате с уменьшением масштаба длина береговой линии неограниченно возрастает. Это обстоятельство резко отличает фрактальную кривую от обычной гладкой кривой ( типа окружности, эллипса), для которой предел длины аппроксимирующей ломаной L при стремлении к нулю длины ее звена / конечен. [19]
Известно много способов оценить длину береговой линии более точно, и в этой главе мы проанализируем некоторые из них. В конце концов мы придем к очень примечательному выводу: длина береговой линии - понятие весьма скользкое, и голыми руками его не ухватишь. Какой бы метод измерения мы ни применяли, результат всегда одинаков: длина типичного побережья очень велика и настолько нечетко определена, что удобнее всего считать ее бесконечной. Следовательно, если кому-нибудь вздумается сравнить различные берега с точки зрения их протяженности, ему придется подыскать что-нибудь взамен понятия длины, которое к данному случаю неприменимо. [20]
Это может показаться удивительным читателю, привыкшему иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерения длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину. [21]
 |
Синтетическая фрактальная береговая линия. [22] |
Он искусно резюмировал проблему, сформулировав вопрос, вынесенный в заглавие его статьи [283], Какова длина береговой линии Великобритании. Данный вопрос - представляет суть фрактальной геометрии. [23]
Допустим, мы имеем последовательность озер, расположенных в порядке возрастания площади их водной поверхности. Пусть мы измеряем длину береговой линии каждого из этих озер одинаковым образом, например проходя по берегу шагами. [24]
Благодаря полученному наследству он смог рано уйти в отставку и наконец полностью посвятить себя изучению психологии вооруженных конфликтов между государствами - над этой темой он работал урывками еще с 1919 г. Результаты этих исследований были опубликованы посмертно в виде двух монографий [492] и [493] ( в книге Ньюмена [444], с. Из посмертных статей упомянем [494] - то самое исследование длины береговых линий, которое описано в главе 5 и которое сыграло столь существенную роль в возникновении настоящего эссе. [25]
Значение показателя D зависит, по всей видимости, от характера измеряемой береговой линии, причем различные участки этой линии, рассматриваемые по отдельности, могут дать различные D. Для Ричардсона величина D была просто удобным показателем, не имеющим какого-либо особенного смысла. Однако похоже, что значение этого показателя не зависит от выбранного метода оценки длины береговой линии. А значит, он заслуживает самого пристального внимания. [26]
Методы анализа и оценки находятся в процессе постоянного совершенствования. Но, например, при определении потенциала энергии приливов решающим фактором является амплитуда приливов, а не длина береговой линии. Также и объем осадочных пород в разведываемом бассейне является малозначащим фактором без некоторых дополнительных характеристик, которые весьма затруднительно получить без детальной разведки. Поэтому исходная информация для каждого исследования должна быть правильно отобранной и надежной, в противном случае она должна вполне сознательно трактоваться как ненадежная. В этой книге была предпринята попытка указывать степень ненадежности многих, казалось бы, точных исходных цифр. Но в конечном итоге приходилось все же пользоваться тем, что есть в наличии, пытаясь делать наиболее точные выводы из имеющихся данных. [27]
Результат не зависит ни от Nc, ни от Dc. Его можно распространить на тот случай, когда генератор включает в себя два или более островов. Заметим, что эмпирически полученное значение В для всей Земли составляет величину порядка 0, 6, что весьма близко к половине размерности D, полученной измерением длин береговых линий. [28]
В цитате ( а) утверждается, что и РГ, и фракталы предназначены для решения практических задач одного класса, а в цитате ( г) - что в процессе решения они сталкиваются прежде всего с одной и той же проблемой. Цитата ( б) становится гораздо более точной, если применить ее к теории фракталов. Высказанное в цитате ( в) сожаление во фрактальном контексте лишено оснований: в настоящее время в нашем распоряжении имеется простая и в то же время структурированная замена производной, первым элементом которой является фрактальная размерность. Цитата ( г), несомненно, принесла читателю нашего эссе радость узнавания: главу 5 мы начали с доказательства расходимости интеграла, который, в теории, должен был бы дать нам длину береговой линии. [29]
В кнше Мандельброта приведено множество картинок-портретов фрактальных явлений. Их изрезанность носит нерегулярный характер: береговые линии статистически самоподобны. С высоты береговая линия выглядит так же, как вблизи. Говорить о длине береговой линии бессмысленно, так как все зависит от точности измерения. [30]
Страницы: 1 2 3