Cтраница 3
Материал книги распределен следующим образом. Первая часть охватывает дискретное исчисление конечных разностей, являющееся основой большинства численных методов. В ней не возникает вопрос о пределах ошибок аппроксимации. Во второй части предполагается, что по узловым точкам проведен интерполяционный многочлен. В ней содержится то, что можно назвать классической частью численного анализа. Материал третьей части основан на предположении, что между узловыми точками функция аппроксимируется функцией с ограниченным спектром. В третьей части также кратко изложены вопросы приближения экспонентами и работа с особенностями. Четвертая часть начинается с алгоритмов, рассматривает эвристические методы и случайные процессы и кончается главой об искусстве вычислений. [31]
Петербургского университета Я. В. Успенскому, который обнаружил, что в представленной работе содержатся основы исчисления конечных разностей ( и сумм) - предмета, развитого еще в трудах Ферма, Лейбница и Ньютона, но не включавшегося в общие курсы математического анализа, а потому и неизвестного Я. Он снабдил Френкеля списком монографий по исчислению конечных разностей; соответствующие книги ( включая книгу А. А. Маркова) с тех давних лет сохранились в библиотеке Я. И. Френкеля; поля их испещрены его карандашными пометками. [32]
Первую часть, посвященную дифференциальному исчислению, перевел Беб-бидж, вторую - интегральное исчисление - примерно поровну Пикок и Дж. Имевшееся у Лакруа приложение, в котором излагались основы исчисления конечных разностей и теории рядов, Гершель заменил своим, причем добавил изложение символического исчисления, основываясь на 3 - м томе большого трактата Лакруа [28], трудах Лагранжа, Лапласа, Арбогаста, Бринкли и своих собственных. [33]
Интерес Маркова к истории математики не был слу чайным эпизодом его жизни. В своих теоретико-числовых сочинениях [ 151 и в монографик по исчислению конечных разностей [10] он приводит точные ссылки не только на Гаусса и позднейших ученых, но и на Лагран-жа, Эйлера, Иоганна Бернулли, Муавра, Ньютона. В одном случае он ссылается на вторую часть Искусства предположений Якоба Бернулли. [34]
Когда какая либо теория, по значительному объему своему, не могла вой1И в Лексикон со всеми подробностями, то я делал ссылки на книги или на отдельныя записки, в которых можно почерпнуть пол-нын сведения о том предмете. Таи, например, в статьях: Алгебра, Астрономия, Исчисление Конечных Разностей и проч. Впрочем, при изложении статей большаго объема, я старался по возможности обозначать порядок предложений и ход доказательств так, чтобы читатель, несколько сведущий в Математике, мог без-труда пополнить сам пропущенное за недостатком места. Подобный способ изложения имеет без сомнения весьма полезную сторону, ибо заставляет читателя прибегать иногда к собственным своим силам, а это самое ведет его к Солее основательному изучению предмета. [35]
Теория систем управления есть область прикладной математики, которая релевантна управлению процессами, происходящими в природе и обществе. Хотя теория управления имеет глубокие связи с классическими областями математики, типа исчисления конечных разностей и теории дифференциальных уравнений, она не стала самостоятельной областью вплоть до конца 1950 - х - начала l 96Qx годов. После второй мировой войны проблемы, возникающие в экономике и при разработке систем, были признаны как разновидности проблем теории дифференциальных уравнений и исчисления разностей, в то время, как соответствующих теорий не существовало. [36]
А, Маркова нашел свое отражение также в его двух фундаментальных курсах: Исчисление конечных разностей и Исчисление вероятностей. Представляя крупные научные произведения, эти труды отличаются тщательнейшей обработкой материала в интересах начинающих читателей. [37]
В главе 2 были даны примеры подобных САУ. Математический аппарат, применяемый при исследовании таких систем автоматического управления, основывается на теории исчисления конечных разностей. Эта теория имеет большое значение также для приближенных вычислений, в том числе для численного интегрирования и приближенного решения дифференциальных уравнений. Уравнения, описывающие дискретные САУ, называются уравнениями в конечных разностях, или разностными уравнениями. [38]
Решение дифференциальных уравнений динамики сорбции представляет большие математические трудности. Поэтому наряду с применением методов математической физики в теории динамики сорбции и хроматографии используются методы исчисления конечных разностей. Одним из таких методов является так называемый послойный метод решения задач динамики сорбции. Эта теория может служить основой для численного расчета хроматограмм с помощью ЭВМ. [39]
Однако было бы неправильно считать, что основной причиной возникновения второго направления в теории хроматографии были чисто практические запросы. В отличие от рассмотренного выше первого направления другое направление в теории хроматографии, характеризующееся применением метода исчисления конечных разностей, исходит из несколько иных физических предпосылок. [40]
Справедливость этой формулы проверяется непосредственно, так как разложение это приводится к ут, когда x mfi. Мы получили таким образом весьма простое выражение формулы Newton a для случая равноотстоящих значений, и оно связано с исчислением конечных разностей. [41]
Первое направление характеризуется тем, что для решения задач динамики сорбции и хроматографии используются методы дифференциальных уравнений, второе - применением методов исчисления конечных разностей. Несмотря на общность цели, исследователи, придерживающиеся того или другого направления при построении теории хроматографии, исходят фактически из различных физических предпосылок. Рассмотрим кратко физические предпосылки, лежащие в основе указанных двух направлений. [42]
Моим первым достижением в этой области было открытие или, точнее, изобретение, сделанное в возрасте 15 - 16 лет и названное мною прогрессивным исчислением, которое явилось обобщением обычной теории арифметических и геометрических прогрессий. Как я позднее ( в 1911 г.) узнал, к своему большому огорчению, оно оказалось не чем иным, как известным исчислением конечных разностей. [43]
Решение этого уравнения посредством преобразования Лапласа дано в статье Nowacki P. J., Die Behandlung von nichtlinearen Problemen in der Regelungstechnik, Regekmgstechnik 8 ( I960), стр. В этой работе полученные первые приближения для отрезка 0 / 1 5 изображены в виде кривых и сравнены с результатами, найденными посредством исчисления конечных разностей. [44]
Тем временем па континенте эволюция идей протекает совсем другим путем, гораздо более абстрактным. Паскаль, наряду с Ферма, занимается изучением биномиальных коэффициентов ( нз которых он составляет то, что он называет арифметическим треугольником) п применением их к исчислению вероятностен н к исчислению конечных разностей; когда он переходит к интегрированию, он и туда вводит те же идеи. [45]