Cтраница 2
В тензорном исчислении рассматриваются специальные математические объекты ( см. п, 12.1 - 1), тензоры, задаваемые ооычно в каждой точке пространства и меняющиеся от точки к точке. Эти объекты представляют собой, следовательно, функции точки; роль точек могут играть элементы различной природы, определяемые системами чисел - координат этих точек. Предполагается, что каждый тензор может быть аналитически охарактеризован упорядоченной системой функций от координат точки ( компонент тензора); эти функции могут выбираться по-разному, но так, чтобы введенные с их помощью математические соотношения между тензорами не зависели от конкретного выбора аналитической характеристики. [16]
В тензорном исчислении удобно пользоваться схемой записи О. [17]
В тензорном исчислении принято правило, предложенное создателем теории относительности А. Эйнштейном, по которому в формулах со значками, встречающимися дважды, подразумевается суммирование; при этом знаки суммы опускаются. [18]
В тензорном исчислении принято в случае ковари-антного закона преобразования пользоваться нижними индексами, в случае контравариантного закона преобразования пользоваться верхними индексами. [19]
Однако, тензорное исчисление устанавливает разность двух тензоров ( в частности, векторов) путем вычитания соответствующих компонент только для того случая, когда оба тензора приложены к одной точке; это находится в полном соответствии с правилом Грассмана. Разность тензоров, даже векторов, приложенных в двух различных точках, не установлена. [20]
Возможность применения тензорного исчисления к построению интегральных инвариантов нуждается в предварительном анализе. [21]
Из основ тензорного исчисления следует, что обобщенные скорости q и обобщенные импульсы PJ являются соответственно компонентами контрава-риантного и ковариаитного вектора ( тензора первого ранга) в системе обобщенных координат. [22]
Излагаются основы тензорного исчисления и некоторые его приложения к геометрии, механике и физике. В качестве приложений строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформаций и рассматриваются некоторые вопросы кристаллофизики. Последняя глава знакомит с элементами тензорного анализа. [23]
Основная задача тензорного исчисления как раз и заключается в том, чтобы научиться отделять результаты, относящиеся к самим геометрическим объектам, от того, что привнесено случайным выбором координатной системы. [24]
Важное обобщение тензорного исчисления - тензорное исчисление в суперпространствах - возникает при введении анти-коммутирующих ( грассмановых) объектов; при этом приходится следить за знаками, появляющимися при перестановке таких переменных. Соотношения ( анти) коммутации обычно записываются в виде ZAZB ( - 1) IAMS ZBZA, где Л 0 для коммутирующих объектов и Л 1 для спинорных. Можно записывать это в виде ZAZB ZBZA, понимая под этим равенством следующее: перестановка всех супериндексов левой части в том порядке, в каком они фигурируют в правой части, дает соответствующий знак, зависящий от четности индексов. Это соглашение позволяет все формулы дифференциальной геометрии рассматривать как формулы геометрии в суперпространстве; перестановка индексов в нужном порядке дает правильный знак. [25]
Для геометрического обоснования тензорного исчисления в римановом пространстве понятие параллельного переноса векторов является одним из основных. [26]
Для завершения построения комплексного тензорного исчисления остается определить стандартным образом ковариантные произ водные в терминах метрики. [27]
В книге рассматриваются приложения тензорного исчисления к некоторым вопросам геометрии, механики и физики. Здесь строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформаций и некоторые вопросы кристаллофизики. [28]
Спинорное исчисление является обобщением тензорного исчисления с добавлением некоторой комплексной структуры. [29]
В тексте использована символика прямого тензорного исчисления [1] с тем отличием, что скаляры, векторы и тензоры не выделяются специальным написанием, а различаются по контексту. [30]