Операторное исчисление

Cтраница 3

Здесь первый член правой части имеет полюса передаточной функции рассматриваемой системы, а второй - полюса изображения входного сигнала. Сн ( р) составляются с помощью известных приемов операторного исчисления. [31]

Включение контура R. р - п т & i i. [32]

Для решения дифференциальных уравнений применим метод преобразования Лапласа или операторного исчисления. [33]

Выше были рассмотрены процессы включения в простых электрических цепях, составляющих в различных сочетаниях сложные цепи электрических машин. При исследовании переходных процессов в электрических машинах во многих случаях находят применение изложенные выше основные положения преобразования Лапласа и операторного исчисления. Необходимо отметить, что выше были рассмотрены лишь простейшие случаи применения этих математических методов; более подробные сведения, касающиеся этой расчетной методики, даются в соответствующей специальной литературе. [34]

Использование функций от оператора задачи для построения аппроксимаций типа (4.1), (4.2) и линейных РА на их основе возможно и в банаховом пространстве. Однако при этом возникают существенные затруднения, связанные с тем, что для операторов, действующих в банаховых пространствах, нет такого же богатого операторного исчисления, как в случае гильбертовых пространств, даже если область определения и область значений оператора лежат в одном и том же пространстве В. [35]

Простейшие задачи, рассмотренные в главе, раскрывают кван-тово-механический подход к описанию движения и взаимодействия, не отягощенный еще применением абстрактного математического аппарата, дают материал для пояснения ниже сущности этого аппарата, приводят к очень общим и характерным закономерностям микромира. То, что эти задачи можно решить, не применяя понятия об операторе, операторной форме уравнения Шредингера, всей совокупности необходимых в других случаях сведений по гильбертову пространству и операторному исчислению, на наш взгляд, существенно в методическом отношении для выявления главных этапов и итогов решения. [36]

Будем для определенности считать, что разности пятого порядка исходных значений функции постоянны. Для этого используем операторное исчисление, примененное нами ранее для вывода интерполяционных формул. [37]

Однако этот метод не был им математически обоснован и поэтому не нашел широкого применения. В основу операторного исчисления было положено прямое интегральное преобразование Лапласа, с помощью которого функции времени f ( t) преобразуются в функции комплексного переменного: р о / со. [38]

Во многих практических задачах скорость со в течение переходного режима изменяется лишь незначительно, и ее можно считать постоянной. Тогда получаем систему линейных уравнений. Хотя решение этой системы значительно проще, но и оно занимает много времени. Поэтому в большинстве случаев для облегчения расчетов используют операторное исчисление или иные методы. При расчетах активные и реактивные сопротивления выражают в относительных единицах. За базисное принимается сопротивление Rb - Un / Jn, где Un, Jn - номинальный ток и напряжение машины. [39]

Для практических расчетов режимов трубопроводов стараются использовать методы интегральных преобразований, которые приводят к одинаковым результатам при меньшей вычислительной работе. Для задач трубопроводного транспорта широко применяют преобразования Лапласа и Фурье. Интегральные ( операторные) преобразования переводят дифференциальные уравнения во временной плоскости в алгебраические уравнения в плоскости операторов подобно тому, как логарифмирование сводит операции возведения в степень к операциям умножения, а операции умножения и деления к операциям сложения и вычитания. При наличии таблиц обратного операторного преобразования для характерных операторных уравнений простейшие случаи решения дифференциальных уравнений сводятся к тривиальным, операциям. В случае сложных операторных преобразований получение решения во временной плоскости зачастую затруднительно, особенно при решении трансцендентных операторных уравнений, которые получаются в результате применения операторного исчисления к уравнениям движения перекачиваемой среды. Если дифференциальное уравнение решается путем применения операторных преобразований, то его можно решить и другим методом, только с большими затратами труда и машинного времени. [40]

В иерархии математических дисциплин существуют области, характеризующиеся разным уровнем абстракции. Низший уровень математической абстракции связан с понятием инди-иидуалыюго числа, обозначаемого, например, арабскими цифрами. На этом этапе еще не вводятся символы, изображающие произвольные числа. Это этап элементарной арифметики; в алгебре мы применяем буквенные символы, но рассматриваем лишь индивидуальные комбинации этих символов. Далее идет уровень анализа, основным понятием которого является произвольная зависимость одного числа о г другого или от нескольких чисел, то есть понятие функции. Значительно сложнее области математики, в которых элементарным понятием является преобразование одной функции в другую, то есть понятие оператора. Только в связи с операторным исчислением может быть понято истинное значение гармонического анализа. [41]

В табл. 3.1 сопоставлены некоторые сведения о преобразованиях Лапласа для сигналов обоих видов. Так как сигналы х ( /) и х [ п, s ] равны нулю при отрицательных значениях t и п, их односторонние и двусторонние изображения совпадают. Поэтому далее рассматриваются только односторонние изображения этих сигналов, выражения которых приведены в таблице. Комплексная переменная р, как и ее вещественная и мнимая части о и со, имеет размерность, обратную времени. Комплексная переменная q безразмерна, как и ее вещественная и мнимая части аир. Величина to является угловой частотой; это видно из выражения ядра изображения в тригонометрической форме. Для краткости величину и будем называть далее просто частотой. Аналогичный смысл имеет величина р, называемая относительной частотой. Изображения существуют, если сигналы мажорированы по модулю некоторыми показательными функциями показателя роста s и а. Как известно из операторного исчисления, каждому оригиналу соответствует определенное изображение, но данному изображению могут соответствовать оригиналы, имеющие различные значения в точках разрыва; если такие оригиналы не считать различными, то операторные соответствия взаимно однозначны. [42]

Страницы: 1 2 3