Cтраница 1
Вариационное исчисление занимается задачей отыскания наибольших и наименьших значений функционалов, определенных на множествах линий или поверхностей. [1]
Вариационное исчисление имеет дело с задачами, в которых требуется найти экстремум интеграла с подынтегральным выражением, зависящим от неизвестной функции и ее производных. [2]
Вариационное исчисление занимается задачей отыскания наибольших и наименьших значений функционалов, определенных на множествах линий или поверхностей. [3]
Вариационное исчисление не только находит одинаковое применение в проблемах равновесия сплошных тел и в проблемах о максимумах и минимумах интегральных выражений, но оно дает возможность установить между этими двумя видами проблем замечательную аналогию, которую мы ниже и изложим. [4]
Вариационное исчисление устанавливает эквивалентность интеграла вида 8 J L dt 0 и группы дифференциальных уравнений. [5]
Вариационное исчисление является частью функционального анализа и имеет большое прикладное значение. Достаточно сказать, что многие основные принципы механики и физики формулируются в виде вариационных рядов. Многочисленные задачи математической физики, имеющие значение в различных прикладных дисциплинах, также с успехом решаются вариационными методами. [6]
Вариационное исчисление фактически стало одним из разделов функционального анализа и занимает в нем такое же место, как теория максимумов и минимумов в обычном анализе. [7]
Вариационное исчисление имеет обширную область приложений в математической физике благодаря тому, что физическая система часто ведет себя таким образом, что некоторый функционал, зависящий от ее поведения, принимает стационарное значение. Иначе говоря, уравнения, описывающие физические явления, часто являются условиями стационарности некоторой вариационной задачи. Типичным примером является принцип Ферма в оптике. Он состоит в том, что луч света между двумя точками проходит по пути, который требует наименьшего времени. Отсюда непосредственно следует вывод, что в любой однородной среде свет распространяется по прямой. [8]
Вариационное исчисление играет чрезвычайно полезную и важную роль, особенно при решении некоторых дифференциальных уравнений. Все примеры из § 11.1 - 11.17 имеют самостоятельный интерес, но они заслуживают изучения и по той причине, что здесь используется материал из других глав этой книги. [9]
Вариационное исчисление точно так же имеет дело с определением экстремальных или стационарных значений некоторых выражений, но здесь имеется существенное различие, заключающееся в том, что в вариационном исчислении мы имеем дело с экстремумами функционалов, а не функций от конечного числа переменных. [10]
Вариационное исчисление берет свое начало в работах Эйлера и Бернулли, относящихся к восемнадцатому веку. [11]
Вариационное исчисление применяют в тех случаях, когда ограничения на переменные состояния и управления отсутствуют. Аналитическое решение такой двухточечной граничной задачи, за исключением нескольких очень простых случаев, связано с большими трудностями. Получение численного решения также достаточно сложно. [12]
Вариационное исчисление играет основную роль при установлении уравнений механики и математической физики. Уравнения эти могут быть получены единообразным путем из некоторого вариационного принципа с помощью понятия энергии. Это последнее понятие, известное из механики систем точек, переносится и на другие физические процессы и приводит, как мы увидим в дальнейшем, при помощи основных принципов вариационного исчисления к некоторой общей схеме составления уравнения математической физики. [13]
Вариационное исчисление является областью математики, связанной с нахождением траекторий, которые минимизируют или максимизируют заданный потенциал. Теоретические основы вариационного исчисления разрабатывались такими выдающимися математиками как Эйлер, Лагранж, А. М. Ляпунов, М. А. Выш-неградский, Лежандр, Клебш, Вейерштрасс, Майер, Больц, Ва-лентайн. [14]
Вариационное исчисление не позволяет прямо находить оптимальное решение, а лишь определяет условия, которым должна удовлетворять оптимальная траектория. Это позволяет при анализе отбросить множество неоптимальных траекторий. [15]