Cтраница 3
Итерирование подпространства - это прямое обобщение и степенного метода, и метода обратных итераций, которые были представлены в гл. [31]
При использовании процедуры bansol 1 ( или bansol 2) в методе обратной итерации последняя имеет параметр е, который определяет, начинается решение с обратной подстановки или нет. При определении левых собственных векторов в качестве начальной аппроксимации выбирают правый вектор. Если матрица А симметрическая, то это дает хорошую сходимость; в общем случае правый вектор может быть не ортогональным левому вектору, если только собственные значения не соответствуют нелинейным делителям. [32]
В главе 14 рассмотрены тщательно разработанные и эффективные методы, основанные на блочной обратной итерации. Они совершенствовались физиками, инженерами и специалистами по численным методам начиная с 1960 - х годов в тот период, когда алгоритм Ланцоша находился в тени. Сомневаюсь, что в будущем они сохранят свое превосходство. [33]
С точки зрения точных вычислений такое уточнение совпадает с выполнением еще одного шага обратных итераций без нормировок. Однако его практическая реализация осуществляется иначе и позволяет исключить влияние эквивалентного возмущения в матрице А на достижимую точность. Единственное препятствие, которое может возникнуть при решении системы (48.8), связано с большим ростом элементов промежуточных вычислений. Но порядок роста, как правило, не превосходит e - J и, если Я не слишком близко к Я, процесс уточнения можно реализовать. [34]
Каждую пару собственных векторов, соответствующих собственному значению lambda [ ], вычисляют методом обратной итерации, используя предварительное разложение матрицы А - lambda X I на треугольные с помощью процедуры bandetl. Основную часть тела процедуры unsray составляет программа реализации метода обратной итерации для вычисления левых собственных векторов. В целочисленных массивах / [ i ] и с [ i ] фиксируется число итераций, потребовавшихся для определения каждого правого и левого собственного вектора соответственно; это число ограничено величиной la, являющейся входным параметром процедуры. Уточнение собственных значений выполняется с помощью обобщенных отношений Релея с учетом вычисленных собственных векторов. [35]
Если относительное расстояние между искомыми собственными числами и остальными очень велико, как в обратных итерациях с хорошим сдвигом, то для сходимости потребуется только один-два степенных шага метода. Ситуация настолько хороша, что преимущества метода Ланцоша здесь совсем не требуются. Тем не менее при таких благоприятных обстоятельствах метод Ланцоша также работает очень хорошо. [36]
Чтобы изучить этот вопрос, мы рассмотрим заново степенной метод ( РМ) и метод обратных итераций ( INVIT) гл. [37]
На каждое собственное значение в QR-алгорифме требуется пять итераций, на каждый собственный вектор в обратных итерациях требуется три итерации, для реализации метода вращений требуется шесть циклов. [38]
Используя теорему (4.2.3) и ее следствие, проверить приведенные выше выражения для коэффициентов сходимости степенного метода и обратной итерации. [39]
Если а с рабочей точностью совпадает с собственным значением, то обычно для сходимости хватает одного шага обратной итерации. [40]
Ядро уравнения (8.13) и матрица дискретного уравнения (8.29) не являются симметричными, поэтому, прежде чем применять процедуру обратной итерации, необходимо симметризовать матрицу А. Это всегда возможно, так как ядро кинетического уравнения удовлетворяет принципу детального равновесия. [41]
А) в случае равноудаленных ос - всякий раз, когда lny2j / V Если итерирование подпространства, или блочная обратная итерация, используется в той же самой задаче с равноудаленными ее, то теперь аппроксимация из span [ ( A-a) m l F ] будет лучше у т если 1пру2 / г. Это показывает, насколько мощным средством может быть обратная итерация. [42]
Поскольку собственному значению Х4 5 соответствуют два линейно независимых собственных вектора, то нельзя было ожидать, что метод обратной итерации позволит определить именно такой вектор. В каждом случае вычисленный собственный вектор, соответствующий u j, существенно отличается от собственного вектора, соответствующего ц2 а совместно они полностью определяют связанное с ними двумерное подпространство. Точность вычисленных поправок с помощью отношения Релея не нарушается при появлении кратных корней, хотя влияние близких корней неблагоприятно. Практически поправки Релея были верны до 22 десятичных разрядов. [43]
Если известно приближение А0 к желаемому собственному значению А -, то быстрая сходимость может быть достигнута посредством метода обратных итераций. [44]
Если собственные значения ленточной матрицы найдены с помощью одного из вышеприведенных алгоритмов, то соответствующие собственные векторы можно вычислить методом обратной итерации, используя процедуру symray. В этой процедуре предусмотрено уточнение найденных собственных значений с помощью отношения Релея; эти значения имеют точность выше обычной. [45]