Cтраница 3
В связи с этой формулой оказывается удобным фиксировать калибровку так, чтобы последнее слагаемое в правой части исчезло. Калибровка, получаемая из последнего условия, обычно называется кулоновской калибровкой. [31]
Поэтому уравнение ( 1.12 - 17) означает, что речь идет о представлении чисто поперечной волны. В этом заключается, как уже указывалось, особое преимущество кулоновской калибровки. [32]
А, следует исходить из представленной в уравнении ( 2.11 - 8) симметричной записи. Правда, это выражение можно преобразовать к более простому виду, если принять во внимание, что вектор-потенциал удовлетворяет условию кулоновской калибровки [ ср. [33]
Это условие представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка, для которой соотношение (2.68) играет роль условия интегрируемости, и выражает одну из шести функций Лъ, fe, от которых зависит О, через остальные. Вместе с условием связи (2.65) это сводит число независимых функций к четырем, что согласуется с подсчетом степеней свободы в кулоновской калибровке. [34]
Использование кулоновской калибровки не изменяет физического смысла решений уравнений Максвелла, хотя и не обладает явной релятивистской инвариантностью. Если, например, источник электромагнитного поля находится в той же системе отсчета, что и наблюдатель, то исследование этого поля с помощью кулоновской калибровки часто упрощается. [35]
Полученная формула (3.38) не является единственно возможным релятивистски-инвариантным выражением для - матрицы. Анализ нашего перехода от кулоновской калибровки к лоренцевой показывает, что в формуле (3.2) не обязательно использовать в качестве подынтегрального выражения функционал типа б-функции. [36]
Она, очевидно, является положительно-определенной, и, таким образом, мы имеем удовлетворительную квантовую теорию электромагнитного поля. Это не означает что расчеты, выполненные в данной калибровке, не дают релятивистски-инвариантных результатов. Напротив, мы исходили из релятивистской теории, и, например, сечения рассеяния, которые мы вычисляем, также релятивистски-инвариантны, но эта инвариантность в кулоновской калибровке не является явной. В некоторых отношениях более предпочтительно квантование, выполненное лоренц-инвариантным образом, например, в лоренцевой калибровке. [37]
Кулоновская калибровка удобна в нерелятивистских задачах, так как магнитное взаимодействие частиц в среде мало по сравнению с электрическим. Поле излучения, которое входит в среду, чисто поперечное и описывается векторным потенциалом А. В среде эти поля, вообще говоря, перемешаны, но если внешнее поле мало по сравнению с внутриатомными полями, то взаимодействие между частицами, обусловливающее само существование среды, остается в нулевом приближении чисто кулоновским. Кулоновская калибровка, позволяя написать это взаимодействие в явном виде (1.12), дает возможность сразу выделить нулевое приближение задачи - система частиц в отсутствие внешних полей - и поэтому удобна при конкретных расчетах. [38]
Оба отмеченных отличия диаграммной техники для лагранжиана (4.16) показывают, что она содержит неудобные сингулярности. Поэтому рассматриваемую модель удобнее исследовать в лоренцевой калибровке или а-калибровке, которые можно просто ввести, пользуясь уже знакомыми нам приемами. Роль же рассмотренной калибровки ( которую часто называют унитарной) состоит в том, что она явно релятивистски инвариантно задает спектр частиц и асимптотические состояния модели. В этом смысле она заменяет нам кулоновскую калибровку теории Янга - Миллса в пустоте. [39]
Развивавшаяся в предыдущих разделах схема построения перенормированной матрицы рассеяния сводится к следующему. Квантование проводится в нековариантной ( например, кулоновской), калибровке в которой пространство состояний включает лишь физические частицы. Далее, пользуясь калибровочной инвариантностью, мы переходим в ковауиантную калибровку и в этой калибровке проводим перенормировку. Доказанная выше согласованность процедуры перенормировки с принципом относительности позволяет нам уже в перенормированной теории вновь перейти в кулоновскую калибровку, демонстрируя тем самым унитарность перенормированной б - матрицы. [40]
В данном разделе мы начинаем с уравнений Максвелла в свободном пространстве и получаем волновые уравнения для векторного А и скалярного Ф потенциалов. Кратко обсуждается калибровочная инвариантность электродинамики. Этот вопрос особенно важен для раздела 14.2.1, в котором рассматривается, каким образом надо описывать взаимодействие между веществом и светом. Так как речь идет о квантовании свободного поля излучения, то есть в отсутствие зарядов и токов, мы используем кулоновскую калибровку, что позволяет работать с одним только векторным потенциалом. [41]
В формуле (4.61) молчаливо предполагается, что сечение s ( ij) пересекает каждую орбиту в 21 и причем только в одной точке. Однако, как было показано в работе [ Зи ] для калибровочной теории на М S4 ( или S3) с неабелевой компактной калибровочной группой Ли расслоение 21 - г нетривиально и не существует непрерывного глобального сечения s: г - 21, т.е. нельзя однозначно определить глобальную калибровку. Это явление получило название неоднозначности Грибова, так как впервые было замечено Грибовым в 1977 г. ( см. [ Гр ]) при анализе SU ( T) - калибровочных теорий в М М4 в случае кулоновской калибровки. Так в евклидовом пространстве М4 существует непрерывное глобальное сечение. [42]
Контрчленная форма й-операции удобна для исследования полей Янга - Миллса, так как она позволяет наиболее просто и явно учесть свойства симметрии. Как мы уже видели в предыдущей главе, принцип относительности позволяет строить теорию возмущений для полей Янга - Миллса, отправляясь от различных калибровок. При этом калибровки, в которых S-матрица формально унитарна ( кулоновская или гамильтонова калибровки для безмассового поля Янга - Миллса, унитарная калибровка для теории со спонтанно нарушенной симметрией), неудобны с точки зрения процедуры перенормировки. В первых двух случаях отсутствует явная релятивистская инвариантность, а в последнем - явная перенормируемость. Гораздо удобнее в этом смысле явно ковариантные калибровки типа лоренцевой, для которых, как мы вскоре увидим, перенормируемость очевидна. Однако в лоренцевой калибровке мы не можем построить гамильтонову формулировку теории, и потому унитарность S-матрицы не очевидна. С точки зрения операторного формализма - матрица в лоренцевой калибровке действует в большом пространстве, содержащем как физические, так и нефизические состояния ( продольные и временные фотоны, скалярные фермионы, голдстоуновские бозоны), и, вообще говоря, унитарна лишь в этом пространстве, в котором метрика индефинитна. Унитарность - матрицы в физическом подпространстве, состояния которого соответствуют полям материи и поперечным векторным квантам, является следствием принципа относительности, который утверждает, что все наблюдаемые не зависят от конкретного выбора калибровочного условия. Это подтверждается явными вычислениями предыдущей главы, где было показано, что явно унитарный производящий функционал для коэффициентных функций 5-мат-рицы в кулоновской калибровке может быть тождественно преобразован в функционал, отвечающий лоренцевой калибровке. Приведенные рассуждения носили, однако, формальный характер, так как мы не обращали внимания на расходимости, появляющиеся при вычислении этих функционалов по теории возмущений. [43]