Cтраница 2
Если б - произвольный топос, то для малой категории 3) категория функторов 8f ( S, б) в общем случае топосом не является. [16]
Более важной, однако, является следующая ступень этой высокой лестницы абстракций: категория функторов. [17]
В действительности справедливо более общее утверждение: для любой малой категории 3) категория функторов 8 ( 3, SET) является топосом. [18]
Еслмо ( 1А, то: Нд - Нд Мы показали, что категория 5Й антиизоморфно отображается в категорию основных функторов Яд Однако для любых 0&. [19]
Умножение преобразований ассоциативно; при этом с каждым функтором Т связывается единичное естественное преобразование IT Т - Т с компонентами IT с TC - Таким образом, для данных категорий В и С можно формально построить категорию функторов Вс Funct ( ( 7 5), объектами которой являются функторы Т: С - - В, а морфизмами - естественные преобразования между такими функторами. [20]
Категории модулей и, более общо, категории функторов из малой Р - категории D в Р являются Р - категориями [4], причем при достаточно слабых ограничениях на Р - категорию К последняя вкладывается в подходящую категорию функторов или модулей. Последнее свойство допускает перенос на случай относительных категорий. Так, если U - объект Р - категории А, то назовем его интегральным, если морфизм d B CUABU А ( Д В) - ( А ( С7, Л), А ( С /, В)) является мономорфизмом. [21]
Опишите категорию функторов Qp и покажите, что она является предпорядком. [22]
Категории Л - Mod, Mod - Л, АЬ ( и многие другие) являются абеле-выми, с обычными ядрами и коядрами. Если категория А абелева, то это верно и для категории функторов AJ с произвольной категорией J. Более подробно, если даны два функтора S, Т: J - А, то множество Nat ( S, Т) AJ ( S T) всех естественных преобразований а / 3: S Т является абелевой группой, в которой сложение определено покомпонентно: ( а / 3) j ctj / 3j: Sj - Tj для каждого j E J. Функтор TV: J - А, единственным значением которого является нулевой объект в А, - это нулевой объект в категории AJ. J, то Kj - Sj является ядром морфизма OLJ. Для AJ выполнены все аксиомы абелевой категории. [23]
Понятие абелевой категории самодвойственно, так что категория Р, двойственная абелевой категории ft, является абелевой категорией. Если № - абелева категория, то для любой малой категории 3) категория функторов 5 ( 3), К) - абелева категория. [24]
Для любой малой категории 3) топос S ( 3) op, SET) называется топосом предпучков на категории % со значениями в категории множеств или топосом множественных предпучков на категории Si. Из теоремы Жиро вытекает, что если 6 - топос Гротендика, то для любой малой категории 3) категория функторов g ( S, Щ является топосом Гротендика. [25]
Определяется это отображение правилом: Ф / ( С) 1ф для каждого ср: В - С. Просто проверяется, что / действительно является естественным преобразованием, и, таким образом, мы приходим к контравариантному функтору из категории Ж в категорию функторов из Ж в Set. Точно так же устанавливаем, что переход А - 3ГА дает ковариантный функтор из Ж в соответствующую категорию функторов. [26]
В категории функторов Set всегда существуют конечные произведения ( упр. Поэтому даже при отсутствии конечных произведений в категории С можно рассматривать объекты с G С, для которых С ( -, с) является группой в категории функторов. [27]
Классификаторы подобъектов существуют и во многих других случаях. Если С - произвольная категория, то в категории функторов Sets существует классификатор подобъектов ( найдите его. [28]
Теория категорий спрашивает о каждом типе математического объекта: Что здесь служит в качестве морфизмов. Однако категорщики обычно называют свои большие категории общим именем их объектов, как например Set, Cat. Только Эресман ( Ehresmann [1965]) и его школа отважились называть каждую категорию общим именем ее стрелок: наша категория Cat - это их категория функторов. Такое внимание к ( го-мо) морфизмам в большой мере восходит к Эмми Нетер, которая широко их использовала в теории групп и колец. [29]
Мы покажем сейчас, что категория в может быть реализована как категория функторов. Речь идет о ковариантных функторах из категории Kl W в категорию множеств, согласованных с конечными произведениями. Мор-физмы в категории функторов - это естественные преобразования, определявшиеся в главе, посвященной категориям. [30]