Cтраница 3
P, двойственная предаддитивной категории ft, является предаддитивной категорией. Однообъектная предаддитивная категория представляет собой не что иное, как ассоциативное кольцо R с единицей. Если ft - предаддитивная категория, то для любой малой категории S) категория функторов § ( Ф, ) предаддитивна. [31]
Мы покажем сейчас, что категория в может быть реализована как категория функторов. Речь идет о ковариантных функторах из категории Kl W в категорию множеств, согласованных с конечными произведениями. Мор-физмы в категории функторов - это естественные преобразования, определявшиеся в главе, посвященной категориям. [32]
Однако, она не имела точного математического определения и лежала в области эвристических наблюдений. В связи с этим большой интерес представляет собой работа Фукса [43], в которой делается попытка придать двойственности Экмана - Хилтона точный математический смысл. Фукс рассматривает одноместные функторы, определенные и принимающие значения в категории пространств с отмеченной точкой, и предлагает называть функтором, двойственным некоторому функтору F, функтор, сопоставляющий каждому пространству А пространство ( соответствующим образом: топологизован-ное) естественных отображений функтора F в функтор приведенного прямого умножения на пространство А. Таким образом, Фукс строит двойственность не для понятий, а для функторов. Экмана - Хилтона является отражением двойственности, имеющей место в категории функторов. К сожалению, функторы алгебраического характера ( как например, группы когомологий и гомотопические группы) укладываются в схему Фукса - Шварца лишь с натяжкой, и обоснование двойственности Экмана - Хилтона для таких функторов по существу остается еще нерешенной задачей. [33]