Cтраница 2
Предаддитивная категория ft с конечными произведениями и конечными копроизведениями, обладающая нулевым объектом, называется аддитивной категорией. [16]
ГРОТЕНДИКА ГРУППА аддитивной к а т е-г о р и и - абелева груши, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть С - малая аддитивная категория и G - абелева группа. Существует группа К ( С), наз. [17]
Понятие аддитивной категории самодвойственно, так что категория ор, двойственная аддитивной категории ft, является аддитивной категорией. [18]
ЭНДОМОРФИЗМОВ КОЛЬЦО - ассоциативное кольцо End ЛНот ( 4, А), состоящее из всех морфизмов А в себя, где А - объект нек-рой аддитивной категории С. Умножение в End А совпадает с композицией морфизмов, а сложение - со сложением морфизмов, определенным аксиомами аддитивной категории. Тождественный морфизм 1д является единицей кольца End A. Элемент q из End А обратим тогда и только тогда, когда ф - автоморфизм объекта А. Если А и В - нек-рые объекты категории С, то группа Нот ( А, В) обладает естественной структурой правого модуля над кольцом End А и левого модуля над кольцом End В. [19]
Заметим, что понятие нулевого морфизма не является общекатегорным: оно специфично для линейных пространств и абелевых групп и для специального класса категорий - так называемых аддитивных категорий. [20]
Пусть функтор С принимает значения в категории коммутативных градуированных Л - алгебр А ( Л), тогда категория CV ( k) будет Л - аддитивной категорией градуированных соответствий. [21]
По данной Afr-категории А постройте аддитивную категорию Add ( A) и аддитивный функтор А - Add ( А), универсальный среди функторов из А в аддитивные категории. [22]
Предабелевы и абелевы категории. Аддитивная категория f с ядрами и коядрами морфизмов называется предабелевой категорией. Понятие пред-абелевой категории самодвойственно, так что категория ор, двойственная предабелевой категории &, является предабелевой. [23]
Существование отображения coim / - im / следует из определения im и coim. Если в аддитивной категории Л любое отображение имеет ядро и коядро и естественное отображение coim / - im / является изоморфизмом, то категория Л называется абелевой. Отметим, что понятие абелевой категории является двойственным себе. В абелевой категории отображение, являющееся эпиморфизмом и - мономорфизмом, является изоморфизмом. [24]
Заметим, что категория, двойственная аддитивной, очевидным образом аддитивна. Важнейшим примером аддитивной категории является категория модулей над кольцом R ( левых или правых) и, в частности, категория абелевых групп. Категория Кольцо R ( пример 12 из таблицы 1) также является аддитивной. [25]
Таким образом, в аддитивной категории выполнено условие 1х), двойственное условно 1), так как проекции свободного произведения совпадают с проекциями прямого произведения. Следовательно, для аддитивных категорий выполняется принцип двойственности. [26]
ГРОТЕНДИКА ГРУППА аддитивной к а т е-г о р и и - абелева груши, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть С - малая аддитивная категория и G - абелева группа. Существует группа К ( С), наз. [27]
Покажите на примере, что это отображение не обязательно является изоморфизмом в произвольной аддитивной категории. [28]
ЭНДОМОРФИЗМОВ КОЛЬЦО - ассоциативное кольцо End ЛНот ( 4, А), состоящее из всех морфизмов А в себя, где А - объект нек-рой аддитивной категории С. Умножение в End А совпадает с композицией морфизмов, а сложение - со сложением морфизмов, определенным аксиомами аддитивной категории. Тождественный морфизм 1д является единицей кольца End A. Элемент q из End А обратим тогда и только тогда, когда ф - автоморфизм объекта А. Если А и В - нек-рые объекты категории С, то группа Нот ( А, В) обладает естественной структурой правого модуля над кольцом End А и левого модуля над кольцом End В. [29]
На обогащенные категории переносятся практически все основные результаты теории категорий при условии, что исходная категория В - не только моноидальная, но и замкнутая. Развитие в этом направлении ( см. ( Dubuc [1970]) и ( Kelly [1982]), а также ссылки в этих работах) может дать мощный метод, позволяющий единообразно рассматривать как обычные категории, так и аддитивные категории, связанные с замкнутыми категориями цепных комплексов ( для целей алгебры относительных гомологии), а также категории, связанные с подходящим декартово замкнутым вариантом категории Тор. [30]