Cтраница 3
В § 3 рассматриваются категории с инволюцией, в которых существуют конечные произведения. Доказано, что такая категория обязательно является аддитивной. Примерами аддитивных категорий являются категории модулей над полукольцами, причем при довольно слабых ограничениях на аддитивную категорию она вкладывается в подходящую категорию модулей. Показано, что на модулях, входящих в такие категории, можно определить бинарную функцию, по своим свойствам близкую к скалярному произведению, что позволяет ввести понятие сопряженного преобразования и выделить гильбертовы модули как изоморфные своим сопряженным. [31]
В § 3 рассматриваются категории с инволюцией, в которых существуют конечные произведения. Доказано, что такая категория обязательно является аддитивной. Примерами аддитивных категорий являются категории модулей над полукольцами, причем при довольно слабых ограничениях на аддитивную категорию она вкладывается в подходящую категорию модулей. Показано, что на модулях, входящих в такие категории, можно определить бинарную функцию, по своим свойствам близкую к скалярному произведению, что позволяет ввести понятие сопряженного преобразования и выделить гильбертовы модули как изоморфные своим сопряженным. [32]
В-четвертых, работает уже упоминавшаяся нами автоматная техника. Объектами соответствующей категории являются вершины графа, а морфизмами - стрелки. Каждой аддитивной категории, у которой морфизмы размечены буквами некоторого алфавита, соответствует подалгебра алгебры эндоморфизмов прямой суммы ее объектов. Если нет двух по-разному размеченных путей, соединяющих два объекта ( например, когда все морфизмы помечены разными буквами), то получается моно-миальная алгебра. Между морфизмами размеченных категорий и морфизмами соответствующих алгебр имеются естественные взаимоотношения. На этом строится вся теория представлений мономиальных алгебр. [33]