Cтраница 3
ХР ЙР) - Систему се-трчных уравнений составим из аппроксимаций задачи (6.6), (6.7) во всех узлах сетки Dh, а сами аппроксимации будем строить с помощью одномерных вариационно-разностных схем. Последовательность действий при этом следующая. [31]
Сначала обсудим вопрос о рациональных путях аппроксимации оператора А по пространственным переменным хну. Как было отмечено в главе 2, удобным методом аппроксимации задач математической физики с сохранением аддитивных свойств оператора и его качественных особенностей является метод покоординатной аппроксимации, которым мы и воспользуемся для построения разностных схем. [32]
Выбор базиса ( 34) позволяет свести задачу ( 4) - ( б) к одномерной. В самом деле, т.к. первая компонента и постоянна по глубине, то при аппроксимации ( 10) все частицы, лежащие на одной вертикальной прямой будут двигаться с одной и той же горизонтальной скоростью. Их вертикальная скорость однозначно восстанавливается из ( 34) по вертикальной скорости частицы, лежащей на свободной поверхности. Поэтому при аппроксимации задачи дискретной системой нет необходимости вводить частицы во всей расчетной области, достаточно поместить их только на свободную границу. Тогда в функционале ( 4) интеграл по ж, как и раньше, надо заменить суммой по частицам, а интегрирование по у с учетом ( 34) можно выполнить явно. [33]
Часто случается, что сеточная задача устойчива в одной норме, согласованной с некоторой дифференциальной нормой, но неустойчива в другой. В случае гладких решений для практической приемлемости схемы обычно достаточно устойчивости в какой-либо согласованной норме. В случае разрывных решений к разностным аппроксимациям часто предъявляются некоторые дополнительные требования относительно поведения их решений вблизи мест разрыва решений; в этих случаях часто недостаточно устойчивости в произвольной согласованной норме. Например, требование устойчивости в определенных нормах предъявляется в отношении аппроксимаций задач газовой динамики. [34]
Граничные условия на горизонтальных границах области интегрирования - X х X, - Y у Y и на верхней границе при z Z ставятся следующим образом. Там, где вектор скорости направлен вовне этой области, значения концентраций экстраполируются на границу по приграничным значениям со вторым порядком аппроксимации. На нижней границе при z А ставится граничное условие третьего рода, учитывающее поглощение и отражение примеси. Уравнение (2.4.10) решается численным интегрированием в декартовой прямоугольной системе координат с применением метода фиктивных областей. Аппроксимация задачи по времени построена с помощью двуци-клического полного расщепления. Используемая схема покомпонентного расщепления дает решение для некоммутативных операторов со вторым порядком аппроксимации по времени и координатам. Для численной реализации конечно-разностных уравнений использована немонотонная прогонка. [35]
Граничные условия на горизонтальных границах области интегрирования - X х X, - Y у Y и на верхней границе при z Z ставятся следующим образом. Там, где вектор скорости направлен вовне этой области, значения концентраций экстраполируются на границу по приграничным значениям со вторым порядком аппроксимации. На нижней границе при z А ставится граничное условие третьего рода, учитывающее поглощение и отражение примеси. Уравнение (2.4.10) решается численным интегрированием в декартовой прямоугольной системе координат с применением метода фиктивных областей. Аппроксимация задачи по времени построена с помощью двуци-клического полного расщепления. Используемая схема покомпонентного расщепления дает решение для некоммутативных операторов со вторым порядком аппроксимации по времени и координатам. Для численной реализации конечно-разностных уравнений использована немонотонная прогонка. [36]
Приступая к рассмотрению многомерных задач математической физики, с самого начала следует отметить, что проблема аппроксимации таких задач представляет собой задачу нетривиальную. Если граница области определения решения гладкая и достаточную гладкость имеют функции, заданные на границах, то второй порядок аппроксимации уравнения и граничных условий при наличии устойчивости будет гарантировать второй порядок точности решения. Если, однако, либо граница области, либо функции, заданные на границах, оказываются негладкими, то в решении задачи в окрестности особых точек возникают весьма существенные погрешности. Тогда, как хорошо известно, в окрестности угловых точек в задачах с эллиптическими операторами обычно возникают особенности либо логарифмического, либо дробного характера. Поэтому равномерная сетка и второй порядок аппроксимации задачи по обеим переменным внутри области еще не обеспечивает решения задачи со вторым порядком точности. В таких случаях используют либо метод сгущения сеток в окрестности особенностей решений, либо метод предварительного выделения особенностей с последующим численным решением регулярной задачи, уже обеспечивающим второй порядок точности. Заметим, однако, что при определенной согласованности граничных условий и правой части уравнения в особых точках границы решение может оказаться гладким, и в этом случае дополнительных проблем аппроксимации уже не возникнет. [37]
Однако среди таких систем они представляют наиболее удобный для исследования объект. Поэтому здесь был доказан ряд теорем о сходимости решений задач об оптимальном управлении для аппроксимирующих систем к решению исходной проблемы для заданной системы (22.16) с последействием. Естественным методом приближенного решения задач об управлении системами с распределенными параметрами является замена соответствующих функциональных уравнений подходящими конечномерными разностными схемами. В результате получается задача об оптимальном управлении аппроксимирующей системой, описываемой уравнениями в конечных разностях или системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие аппроксимирующие задачи, по крайней мере, если речь идет о линейных системах, оказываются эффективно разрешимыми, и тем самым доставляется возможность численного решения исходной проблемы. К сожалению, и здесь вопросы обоснования подобной конечно-разностной аппроксимации исследованы еще недостаточно. Следует, наконец, отметить одно существенное обстоятельство, характерное для аппроксимации задач об управлении системами с распределенными параметрами и проявляющееся, в частности, уже в задачах об управлении системами с последействием. V, и пусть эта система, аппроксимируется конечномерной системой, описываемой системой из п обыкновенных дифференциальных уравнений. [38]