Cтраница 1
Целостное кольцо с коненным числом элементов является полем. [1]
Целостное кольцо с единицей, в котором каждый идеал является главным, называется кольцом главных идеалов. Как было сейчас показано, кольцо Z целых чисел и кольцо многочленов Р [ х ] являются кольцами главных идеалов. [2]
Целостное кольцо К с этими свойствами называется евклидовым кольцом. Полагая 6 ( а) а для а Z и 6 ( а) dega для а а ( Х) Р [ Х ], мы приходим к выводу, что Z и Р [ Х ] - евклидовы кольца. [3]
Целостное кольцо К, все идеалы которого главные, т.е. имеют вид аК, называется кольцом главных идеалов. [4]
Целостное кольцо К с этими свойствами называется евклидовым кольцом. Полагая 8 ( а) а для aeZ и 6 ( a) dega для а - а ( Х) Р [ Х ], мы приходим к выводу, что Z и Р [ Х ] - евклидовы кольца. [5]
Целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители, целозамкнуто в своем поле частных. [6]
Любое конечное целостное кольцо К является полем. [7]
Всякое целостное кольцо А главных идеалов факториально. [8]
Если целостное кольцо Э целозамкнуто, то и кольцо многочленов 9J [ ] целозамкнуто. [9]
Всякое целостное кольцо А главных идеалов факториально. [10]
Если целостное кольцо Я целозамкнуто, то и кольцо многочленов 9 ( [ х ] целозамкнуто. [11]
Для любого целостного кольца А существует такое поле К, подкольцом которого является А, что любой элемент из К представляется в виде ab-l, где а и 6 0 - элементы из под-кольца А. Такое поле называется полем частных кольца А. [12]
Для каждого целостного кольца А существует поле отношений ( или поле частных, поле дробей) Q ( A), элементы которого имеют вид а / Ь, а G А, 0 Ь А. [13]
Если 3t - целостное кольцо, то SR не обязано быть целостным, как мы увидим позднее; кольцо Sff может быть целостным и тогда, когда SR таковым не является. [14]
Пусть А - целостное кольцо, целозамкнутое в своем поле частных К, L - конечное сепарабельное расширение поля К и В - целое замыкание А в L. Показать, что если А нетерево, то В - конечный Л - модуль. L над / С Умножив все элементы этого базиса на подходящий элемент из А, мы можем, не теряя общности, считать, что все г - целые над А. [15]