Cтраница 2
R становится топологическим кольцом. Топологическое кольцо R называется нормируемым [ псевдонормируемым ], если на R можно задать такую норму [ псевдонорму ], что определяемая ею описанным выше образом топология на R совпадает с исходной. При этом R оказывается полным топологическим кольцом тогда и только тогда, когда оно полно как нормированное кольцо. [16]
Пусть А - ограниченное топологическое кольцо ( упражнение 12) с единицей, в котором множество А всех обратимых элементов открыто. Показать, что радикал кольца А открыт. Таким образом, если А не имеет радикала, то оно дискретно; в ч юности, отделимое ограниченное топологическое тело дискретно. Компактное кольцо А без радикала, обладающее единицей и такое, что А открыто в А, конечно; в частности, компактное топологическое тело конечно. [17]
Ядрами топологических гомоморфизмов топологического кольца R в те или иные топологические кольца служат его замкнутые двусторонние идеалы. [18]
Множество М в топологическом кольце А называется ограниченным справа ( соотв. U в А существует такая окрестность нуля V, что VM с U ( соотв. MV cr U); М называется ограниченным, если оно ограниченно одновременно слева и справа. Топология кольца А называется локально ограниченной ( к А - локально ограниченным топологическим кольцом), если в А существует ограниченная окрестность нуля. [19]
Говоря о равномерной структуре топологического кольца А, всегда имеют в виду, если не оговорено противное, равиомер ную структуру его аддитивной группы; в частности, говорят, что А есть полное кольцо, если полна его аддитивная группа. [20]
И, Обратимость в топологических кольцах Докл. [21]
Всякая открытая подгруппа аддитивной группы топологического кольца замкнута. [22]
Если / / - иодкольцо топологического кольца А, то топология, индуцируемая в Л топологией пространства А, согласуется с индуцированной в / / из А структурой кольца. [23]
В применении этой теоремы к топологическому кольцу А имеем E F G-A B Л, а / есть Z-билинейное отображение ( х, у) I - ху, непрерывное по предположению. Значение продолженной функции на А X А будем по-прежнему обозначать ху; эта функция является законом композиции в А, а ее Z-билинейность означает правую и левую дистрибутивность этой композиции относительно сложения; с другой стороны, она ассоциативна в силу принципа продолжения тождеств. [24]
Топология, индуцируемая в подкольце Н топологического кольца А топологией из А, согласуется со структурой кольца в Н; говорят, что определенная так структура топологического кольца в Н индуцирована структурой топологического кольца А. [25]
Когда идет речь о равномерной структуре топологического кольца А, всегда имеется в виду, если не оговорено противное, равномерная структура его аддитивной группы; в частности, кольцо А называется полным, если полна его аддитивная группа. [26]
Прямые произведения и другие конструкции для топологических колец и модулей рассматриваются в [2], гл. [27]
Если А и В - подмножества топологического кольца / v, то произведение замыканий этих множеств лежит в замыкании их произведения. Если эти множества компактны, то компактно и их произведение. [28]
Прямые произведения и другие конструкции для топологических колец и модулей рассматриваются в [2], гл. [29]
Пусть Е - топологический модуль над топологическим кольцом А, где А и Е не обязательно отделимы. [30]