Cтраница 3
Если U и V - открытые подмножества топологического кольца, то множество 1 / V также открыто. [31]
Левый [ правый ] аннулятор любого подмножества топологического кольца замкнут. [32]
Следовательно, R с топологией т оказывается топологическим кольцом. Ясно, что 20 - база окрестностей нуля в этой топологии, а Se - база окрестностей элемента а. [33]
Топология проективного предела превращает k [ X ] в топологическое кольцо. [34]
Замыкание подкольца, левого, правого или двустороннего идеала топологического кольца является под-кольцом, левым, правым или двусторонним идеалом соответственно. При этом, если подкольцо коммутативно, то коммутативно и его замыкание. Существуют непростые топологические кольца, не содержащие нетривиальных замкнутых идеалов. [35]
Дискретная топология в кольце А согласуется со структурой кольца; топологическое кольцо с дискретной топологией называется дискретным кольцом. [36]
Алгебра 91 над полем С называется банаховой алгеброй, если 91 - одновременно топологическое кольцо и банахово пространство. [37]
Пусть Е - топологическое пространство, / и g - его отображения в топологическое кольцо А; если / и g непрерывны в точке XQ 6 Е, то / g, - / и fg тоже непрерывны в этой точке. Отсюда следует, что непрерывные отображения Е в А образуют подколъцо кольца АЕ всевозможных отображений Е в А. [38]
Брюмер [84, 85] обобщает хорошо известные результаты о гомологической размерности полных полулокальных колец на случай топологических колец, обладающих базой оурестностей нуля, состоящей из идеалов, факторкольца по которым артиновы. Изучается также гомологическая размерность групповых алгебр проконечных групп. [39]
Но последнее требование имеет синел и тогда, жогда и У - модули над топологическим кольцом, если считеть, что свмвол J / обозвачает фильтр окреотвостей вуля в этом кольце. [40]
Это показывает, что топология в кольце t согласована с умножением, так что t - топологическое кольцо. [41]
На базе этих и некоторых других конкретных теорий в текущем столетии стали быстро развиваться общая теория колец и теория топологических колец. [42]
Легко проверяется, что система подмножеств f е 1 может быть принята за базу окрестностей нуля, причем R становится топологическим кольцом. Топологическое кольцо R называется нормируемым [ псевдонормируемым ], если на R можно задать такую норму [ псевдонорму ], что определяемая ею описанным выше образом топология на R совпадает с исходной. При этом R оказывается полным топологическим кольцом тогда и только тогда, когда оно полно как нормированное кольцо. [43]
Топология, индуцируемая в подкольце Н топологического кольца А топологией из А, согласуется со структурой кольца в Н; говорят, что определенная так структура топологического кольца в Н индуцирована структурой топологического кольца А. [44]
Мы определим в R умножение, которое превратит R в полукольцо, а N - в двусторонний идеал этого полукольца, так что R R / N окажется полным топологическим кольцом. [45]