Cтраница 3
Описанные выше и другие преобразования могут объединяться в цепочку преобразований. Эта процедура называется конкатенацией, а полученная в результате цепочка - композицией преобразований. В ходе редактирования, сопровождающего процесс разработки графической модели проектируемого объекта, как правило, используются композиции преобразований. Например, для поворота объекта относительно произвольно выбранной его точки выполняется следующая композиция преобразований: перенос в начало координат, поворот относительно начала координат, перенос обратно в исходное положение. [31]
Сопоставляя преобразования Фурье и Радона, авторы известной монографии [2] подчеркивают определенные преимущества преобразования Радона при решении многих прикладных задач. Действительно, как видно из (4.32), преобразование Фурье можно разложить в композицию преобразования Радона и последующего преобразования Фурье в одномерном пространстве. Кроме того, оно типично только для евклидова пространства, которым мы ограничиваемся в этой главе. Строго говоря, аналог ID фурье-образа существует и в других однородных пространствах ( например, в пространстве Лобачевского), но он уже связан с представлениями групп и строится значительно сложнее. [32]
Отметим, что несущественный на первый взгляд нормировочный множитель - отличающий (3.5) от (3.6) изменяет закон композиции одевающих преобразований. [33]
С формальной точки зрения движения конечного автомата ( последовательная смена его состояний во времени под действием внешних и внутренних причин) интерпретируются как параметрическое семейство преобразований пространства состояний в себя, зависящее от входных сообщений. Естественное требование согласованности движений автомата с сочлинением фрагментов входных сообщений ( однозначность) представляет собой ограничение, при котором упомянутое семейство оказывается полугруппой по отношению к операции композиции преобразований. Изучение полугрупп, индуцируемых различными конечными автоматами, представляет значительный интерес, так как оно позволяет проникнуть в сущность качественных закономерностей динамики функционирования дискретных систем. В частности, связь строения полугрупп с функционалами, заданными на множестве движений системы, проливает свет на надежность и помехозащищенность автоматов как на частные виды устойчивости динамической системы под действием соответственно внутренних и внешних возмущений. [34]
Возникает вопрос: обладает или нет каждая абстрактная группа точной реализацией. Если бы это было не так, то понятие абстрактной группы в развитом выше виде было бы слишком широким - существовали бы, в добавление к закону ассоциативности, другие чисто формальные законы для композиции преобразований, которые выполнялись бы в каждой группе преобразований. [35]
Книга содержит оригинальные задачи. Наряду с традиционными разделами начертательной геометрии в сборнике есть разделы, до сих пор в практике преподавания не встречавшиеся: элементарная линейчатая геометрия, геометрические преобразования ( отражения, повороты, винтовые перемещения и др.), композиция преобразований, задачи с одной проекции, применение начертательной геометрии к решению планиметрических задач и др. С новизной проблематики задач связаны и нетрадиционные методы их решения. Для большинства задач даны решения. [36]
Представим себе теперь, что в преобразовании ( 4) встречаются расходящиеся ряды. Таким образом, наряду с формальной группой преобразований, мы получаем соответствующие формальные уравнения. Здесь необходимо особенно подчеркнуть, что обычные законы композиции преобразований и вывода соответствующих дифференциальных уравнений применимы для случая расходящихся рядов совершенно так же. [37]
Описанные выше и другие преобразования могут объединяться в цепочку преобразований. Эта процедура называется конкатенацией, а полученная в результате цепочка - композицией преобразований. В ходе редактирования, сопровождающего процесс разработки графической модели проектируемого объекта, как правило, используются композиции преобразований. Например, для поворота объекта относительно произвольно выбранной его точки выполняется следующая композиция преобразований: перенос в начало координат, поворот относительно начала координат, перенос обратно в исходное положение. [38]
Определить композицию последовательно выполняемых одиночных преобразований весьма просто, если преобразования выразить в матричной форме, как это мы делали выше. Например, если мы хотим масштабировать с коэффициентом 2 точку в двумерном пространстве и затем повернуть ее вокруг начала координат на 45, конкатенация будет состоять просто в перемножении двух матриц преобразования. Важно только, чтобы порядок расположения матриц при умножении был тем же самым, что и порядок, в котором должны выполняться преобразования. Композиция преобразований становится более сложной, когда она включает еще и перенос, но мы не будем рассматривать этот случай. [39]
Описанные выше и другие преобразования могут объединяться в цепочку преобразований. Эта процедура называется конкатенацией, а полученная в результате цепочка - композицией преобразований. В ходе редактирования, сопровождающего процесс разработки графической модели проектируемого объекта, как правило, используются композиции преобразований. Например, для поворота объекта относительно произвольно выбранной его точки выполняется следующая композиция преобразований: перенос в начало координат, поворот относительно начала координат, перенос обратно в исходное положение. [40]