Cтраница 2
Возвращаясь к статическим полям, нетрудно подсчитать выражения Для компонент тензора кривизны в этой системе координат. [16]
Подставляя (3.15) в (3.11), нетрудно получить выражения для компонент тензоров кривизны и кручения через символы Кристофеля и структурные функции С. [17]
Это объясняется тем, что с увеличением размерности число компонент тензора кривизны растет быстрее, чем число компонент метрического тензора. При п 4, если точки непостоянства кривизны ( точки, в которых есть хотя бы два направления с разными секционными кривизнами) везде плотны, то диффеоморфизм, сохраняющий кривизну, является изометрией. Таким образом, при п 4 в некоторой окрестности точки непостоянства кривизны рима-нова метрика полностью определяется секционными кривизнами. В этом смысле секционные кривизны являются основными инвариантами риманова многообразия. [18]
Критерием неустранимости особенности является - поведение скаляров, составленных из компонент тензора кривизны. При / 1р2: 0, р3 1 все компоненты Rikim вообще равны нулю. [19]
В силу соотношений ( 92 2 - 4) не все компоненты тензора кривизны независимы. Определим число независимых компонент. [20]
Среди так получающихся соотношений некоторые могут быть заменены равенствами, в которые входят компоненты тензоров кривизны и кручения. Если полученные таким образом уравнения совместны, что можно проверить с помощью конечного числа операций, то пространство разлагается в произведение пространств размерности г и пространства размерности п - г; если же уравнения не совместны, то оно не разлагается. [21]
Для того чтобы на некоторой гиперповерхности геометрия стремилась к плоской, необходимо и достаточно, чтобы все компоненты тензора кривизны на этой гиперповерхности стремились к нулю. [22]
Эти уравнения описывают плоское многообразие специальной теории относительности и в то же время допускают случай, в котором компоненты тензора кривизны не обращаются в нуль. [23]
Что же касается этих последних уравнений, то их особенно удобно исследовать в том неголономном ортрепере, относительно которого компоненты тензора кривизны имеют канонический вид (19.6), (19.12), (19.17), а свертывание производится при помощи метрического тензора Минковского. [24]
Теорема о существовании трех типов пространств Эйнштейна с сигнатурой ( - - - - 1 -) и канонические формы компонент тензора кривизны для некоторого неголономного орторепера, определяемого в каждом из трех возможных случаев однозначно, были получены в 1949 г. Этот результат, нашедший физические приложения [306], [296], [299], [322] главным образом при исследовании свободных пространств, когда тензор энергии-импульса Та 0, оставлял открытым вопрос о том, что можно сказать в общем случае, когда Taa. Естественно предположить, что такая классификация в общем случае должна, во-первых, при Т аа-хт ао приводить к результатам § § 18, 19 и, во-вторых, должна учитывать алгебраическую структуру не только тензора кривизны пространства, но и тензора энергии-импульса. [25]
Поскольку в каждой из пар ab и cd два индекса должны иметь различные значения, то очевидно, чтр все отличные от нуля компоненты тензора кривизны либо совпадают друг с другом, либо отличаются знаком. [26]
Для каждого из этих ортореперов а) и р) запишутся двумя эквивалентными, с точностью до линейных комбинаций, системами уравнений относительно компонент тензора кривизны, что и доказывает теорему. [27]
Для каждого из этих ортореперов а) и Р) запишутся двумя эквивалентными, с точностью до линейных комбинаций, системами уравнений относительно компонент тензора кривизны, что и доказывает теорему. [28]
Эти условия в трехмерном пространстве можно заменить условиями обращения в нуль компонент тензора Эйнштейна, так как в трехмерном пространстве число существенно различных компонент тензора кривизны и тензора Эйнштейна совпадает. [29]
Риман показал, как при помощи дифференцирования можно получить характеристическую величину - тензор кривизны, определяющий вид геометрии. Если все компоненты тензора кривизны равны нулю, то геометрия евклидова, в противном случае - неевклидова. [30]