Cтраница 3
Формулы (4.6) и (4.9) показывают, что величины Ъ определяют нормальную кривизну поверхности в произвольном направлении. Поэтому их называют ( ковариантными) компонентами тензора кривизны поверхности. [31]
Формулы (10.51) и (10.56) показывают, что величины Ьц определяют нормальную кривизну в произвольном направлении. Поэтому их и называют ( ковариантными) компонентами тензора кривизны поверхности. [32]
Определение тензора кривизны, даваемое написанными выше формулами, относится к пространству любого числа измерений. Поскольку в каждой из пар ab и cd два индекса должны иметь различные значения, то очевидно, что все отличные от нуля компоненты тензора кривизны либо совпадают друг с другом, либо отличаются знаком. [33]
Физически в некоторых случаях его можно истолковать как поле, создаваемое материей и гравитационными волнами. Согласно гипотезе 1) пространство, определяемое таким полем, в предельном случае должно стремиться к плоскому пространству-времени. Для этого необходимо и достаточно, чтобы компоненты тензора кривизны такого риманова пространства стремились к нулю для некоторых значений аргумента. Но, например, для любого из пространств У2, допускающих некоторую группу движений, легко убедиться, что это невозможно ни при каких значениях аргументов, если исключить вырождение метрики. [34]
Линеаризованная ОТО аналогична максвелловской электродинамике, при этом роль калибровочных преобразований играют четыре преобразования (12.13), индуцируемые инфинитезимальным преобразованием координат. Существенным отличием является то, что в рамках теории без высших производных сформулировать теорию в терминах калибровочно-инвариантных величин оказывается невозможным. В электродинамике калибровочно-инвариантными являются компоненты поля F, в линеаризованной теории гравитации аналогичную роль играют компоненты тензора кривизны ДМ АТ - Но эти величины построены из вторых производных от i / V c помощью только первых производных построить калибровочно-инвариантный тензор из т / Vi вообще нельзя. Это служит указанием на то, что результирующая теория является лишь приближенной. [35]
Рассмотрим точку Р пространства У4, бесконечно близкую к началу координат, и компоненты gap ( P) с точностью до определенного порядка малости. Приближение первого порядка не меняет картины. Приближение второго порядка всегди скажется, если имеет место некоторое распределение и движение материи; оно характеризуется отклонением в орторепере компонент тензора кривизны от нуля, и это первый показатель существования поля. Следующее приближение порядка три определяет, грубо говоря, быстроту изменения тензора кривизны, и для симметрических пространств он обращается в нуль, так что остаются лишь поправки более высокого порядка малости. Можно условно говорить, что в этом случае тензор кривизны слабо меняется. Отсюда следует, в частности, что для прострапств Т2 слабое изменение тензора кривизны возможно только в случае максимальной однородности пространства, а для пространств Т3 никогда не имеет места. [36]
Я, определяют тем самым плоскую геометрию в некоторой области и тем самым совершенно не отражают наличие гравитационного поля. Приближение первого порядка также ничего не добавляет в информацию о поле гравитации, так как оно попросту отсутствует. Но уже приближение второго порядка дает вклад в метрику, характеризующий распределение и движение материи, порождающей поле гравитации, хотя и неполностью; он характеризуется компонентами тензора кривизны в начале координат и никакими преобразованиями координат не может быть устранен. [37]
& aft) всего шесть: индексы а и Ъ можно выбрать из четырех значений 1, 2, 3, 4 шестью способами, а каждая пара значений дает одну независимую компоненту. Но и из этих трех компонент только две независимы, так как все три связаны друг с дру-том одним тождеством ( 92 8) Rizso - - io23 - - i3oz: - Таким образом, в четырехмерном пространстве тензор кривизны имеет всего 20 независимых компонент. Выбирая систему координат, декартову в данной точке, и рассматривая преобразования, поворачивающие эту декартову систему ( так что значения gik в рассматриваемой точке не меняются), можно добиться того, чтобы шесть компонент тензора кривизны обратились в нуль. [38]