Cтраница 1
Доказательства сходимости даны у Чаплыгина. [1]
После доказательства сходимости этого процесса обнаруживается, что предельные функции ж, у, z и, v, w удовлетворяют некоторой системе нелинейных интегральных уравнений, которую мы не приводим вследствие ее сложности. Далее автор показывает, что решение полученной им системы интегральных уравнений является одновременно и решением заданной системы уравнений гидродинамики. Таким образом, двигаясь в обратном направлении мы можем сказать, что задача интегрирования уравнений гидродинамики сводится к решению некоторой системы интегральных уравнений, причем описанный выше процесс последовательных приближений можно рассматривать как метод решения этой системы. Наше, поневоле поверхностное, изложение доказательства Н.М. Гюнтера ни в какой мере не может дать представления о тех огромных математических трудностях, которые пришлось преодолеть автору на своем пути, и о тех тонких и разнообразных приемах, которыми он для этой цели пользовался. Дополнением к изложенной работе является статья Н.М. Гюнтера О решениях уравнений гидродинамики ( Известия Российской академии наук. [2]
Из доказательства сходимости видно, что основным моментом являлось получение оценки ( 8), характеризующей устойчивость разностной схемы. Сходимость же схемы является следствием аппроксимации и устойчивости, причем порядок скорости сходимости совпадает с порядком аппроксимации. Проведенное выше доказательство сходимости схемы является частным случаем теоремы Филиппова. [3]
Для доказательства сходимости и установления скорости сходимости предлагаемых алгоритмов в докладе устанавливается ряд математических результатов, касающихся сходимости случайных процессов. Частично эти результаты пересекаются с соответствующими результатами, полученными в методе стохастической аппроксимации. [4]
Для доказательства сходимости нам следует вначале сформулировать следующую лемму, доказательство которой аналогично доказательству леммы 12.1 и оставляется в качестве упр. [5]
Для доказательства сходимости с вероятностью 1 в конкретных задачах бывает полезным следующий критерий. [6]
Для доказательства сходимости ряда (4.19), решающего задачу (4.17), (4.18), используется методика, предложенная в первой главе. [7]
Для доказательства сходимости ряда ( 7) применим критерий Коши. [8]
Для доказательства сходимости рядов (4.9) построим мажорирующий их числовой ряд. [9]
Для доказательства сходимости алгоритма мы предполагаем, что функции f и gi непрерывны и что оптимальная точка существует. Функция Р ( х) обычно может быть выбрана так. [10]
На доказательства сходимости алгоритмов было затрачено много сил, и сейчас мы в целом представляем, что требуется, чтобы можно было доказать сходимость к решению последовательности оценок, полученных в результате работы алгоритма. [11]
Для доказательства сходимости процесса необходимо уметь оценивать по правой части уравнения Пуассона ( 9) его решение v ( х, у) вместе с теми производными, которые нужны для образования дальнейших правых частей. Когда речь идет об оценках функций, имеют в виду функциональную операцию, которую можно назвать нормированием и которая применяется к некоторым функциям рассматриваемого класса, в пашем случае к некоторым функциям вида ( 10) ( я2 г / 2 [ №), относя этим функциям определенные числа - нормы. [12]
Для доказательства сходимости последовательности г / заметим, что она возрастает, и нам достаточно проверить ее ограниченность сверху. [13]
Для доказательства сходимости ряда Тейлора ( 7) выберем произвольную точку Zi внутри круга г - a R и построим окружность радиуса R R так, чтобы точка г лежала внутри этой окружности. [14]
После доказательства сходимости парадиагональных последовательностей [ M J / M ] ( при J - 1) естественно возникают вопросы: что представляет собой предельная функция / ( - /) ( г) и каков характер сходимости. Мы сначала дадим ответ на второй вопрос, а именно установим некоторые неравенства для коэффициентов при степенях ( - z) J в разложении аппроксимаций Паде в степенной ряд. [15]