Cтраница 1
Доказательства теорем мы опускаем из-за их громоздкости. [1]
Доказательства теорем 19.1 и 19.2 приведены в конце главы. Множество в называется определимым в арифметике второго порядка, если существует формула В ( х) языка L, такая, что для любого натурального k тогда и только тогда имеет место k в, когда Af ( B ( k)) 1; эта формула может ( но не обязана) быть формулой второго порядка. Формула В ( х) в таком случае определяет в в арифметике второго порядка. Все множества, определимые в арифметике, определимы в арифметике второго порядка; обратное, однако, неверно, поскольку V, как мы увидим, определимо в арифметике второго порядка. [2]
Доказательства теорем 1 и 2 существенным образом опирались на специальные топологические свойства тела R; в самом деле, можно указать примеры упорядоченных тел К, для которых существуют отличные от постоянного отображения тела К в себя, имеющие в каждой точке производную, равную нулю ( ср. [3]
Доказательства теорем остаются при этом неизменными. [4]
Доказательства теорем 3.5 и 3.6 будут даны в § 4, а здесь мы выясним, для каких потенциалов Wz выполняются условия этих теорем. [5]
Доказательства теорем 28 и 29 будут закончены, когда мы установим лемму 21 в гл. [6]
Доказательства теорем 1 - 3 служат иллюстрацией общих методов и соображений, изложенных в § 3 из гл. [7]
Доказательства теоремы 8 и ее следствий идентичны доказательствам аналогичных результатов для симметрических форм и предоставляются читателю. [8]
Доказательства теорем о прямых суммах из § 2.3 проходят без изменения и для экстраординарных теорий когомологии. [9]
Доказательства теорем 8.2 и 8.3 будут тогда проще, так кап полное произведение полных алгебр А само является полной алгеброй. [10]
Доказательства теоремы и приведенных выше утверждений в случае q 5 просты, в случае q 1 содержатся в цитированных в § 33 работах Богданова, в случае q - 4 неизвестны, а в случаях q - 2, 3 намечены ниже. [11]
Доказательства теорем 1 и 2 мы опускаем; они прямо следуют из определений, только в случае теоремы 1 потребуется еще совсем простой и очевидный подсчет. [12]
Доказательства теорем 1 - 3 § 24 основаны на самих результатах, а не на доказательствах предыдущего параграфа, следовательно, эти теоремы оказываются справедливыми и в общем случае. [13]
Доказательства теорем 5.4.6 и 5.4.8 основаны на нескольких леммах, которые мы сейчас докажем. [14]
Доказательства теорем 1 и 2 не имеют принципиальных различий. [15]