Cтраница 4
Хорошо известен метод Пикара доказательства существования решения системы дифференциальных уравнений с помощью последовательных приближений. Работы Пикара и Софуса Ли привели к более глубокому, чем раньше, проникновению в структуру дифференциальных уравнений, позволили их классифицировать, предвидеть случаи, когда они интегрируемы в квадратурах, и пролить свет на глубокое родство свойств, которые до того казались не связанными друг с другом. [46]
Следующая теорема Мазура [37] указывает способ построения сильно сходящейся последовательности из слабо сходящихся последовательностей. Эта теорема используется в доказательстве существования решений вариационных задач. В частности, мы применим ее в задаче о конденсаторе ( гл. [47]
В случае, когда множество М несчетно, например, состоит из кусков линий или поверхностей, для справедливости подобных утверждений необходимы еще другие условия, в силу которых решение в достаточно малой окрестности множества М может пройти только малое расстояние, возможно, пересекая М, и затем выходит из окрестности. В [67-69] разработан ряд методов доказательства существования решения и исследования свойств решений в подобных и в более сложных случаях. [48]
Эта теорема имеет разнообразные интересные приложения. Тихоновым она была применена к доказательству существования решений бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [49]