Cтраница 3
Задачу указать достаточные условия, при которых в условиях леммы 4.3.1 в точку покоя вдоль исключительного конуса входят траектории, заполняющие многообразие минимальной или большей размерности, называют проблемой различения размерности для исключительного конуса. [31]
Итак, при фиксированном г для каждого значения s имеем только одно значение и, такое, что ( м 5 г) служат начальными данными для интегральной кривой, входящей в начало координат вдоль исключительного конуса. [32]
О, О, 1), ( 0, 1 0), ( 1 0 0) и ( ] / 3 / 3, УЗ / 3), а также 8 исключительных конусов ( x y z); z2 x2 и ( x y z): z2 y2, не являющихся минимальными, однако пет минимальных исключительных конусов. [33]
Если имеется коническая окрестность х: mm x x - l - y y): у К г исключительного конуса, которая не содержит других исключительных конусов, в том числе исключительных направлений, то исключительный конус называется изолированным. [34]
Если около изолированного исключительного конуса К уравнения (4.3.1) можно построить нормальную область второго вида, то вдоль исключительного конуса в точку покоя входят траектории, заполняющие по крайней мере пг-мерное множество, где m - размерность исключительного конуса. [35]
Нормальной областью около изолированного неособого исключительного направления называют коническую окрестность этого исключительного направления в шаре U ( 0, г) с достаточно малым г0, в которой хтР ( х) 0, нет других исключительных направлений или исключительных конусов и боковая граница которой является кусочно гладким конусом, пересекающимся с траекториями трансверсалыю. Еще в границу входят точка покоя и задняя граница S - часть сферы dU ( 0, r) пли другое гладкое многообразие, трапсверсалыюе траекториям. [36]
Kn Rn, p: Rn - Rn, P ( cx) c P ( x q p ( x) о ( х ч) при г - - 0 и Р удовлетворяет условию Липшица, имеет исключительное направление или исключительный конус в нормальной области первого вида. Тогда все траектории из этой области входят в точку покоя, касаясь исключительного направления или исключительного конуса. [37]
Нормальной областью около изолированного неособого исключительного конуса называют его коническую окрестность в шаре t / ( 0, г) с достаточно малым г0, в которой нет компактного инвариантного множества уравнения (4.2.1) и замкнутого конуса, в точках которого хгР ( х) 0, и нет других исключительных конусов и исключительных направлений. Боковая граница нормальной области должна быть кусочно гладким конусом, пересекающимся с траекториями трансверсалыю, и кроме боковой границы в границу входят точка покоя и задняя граница - гладкое многообразие, пересекающееся с траекториями трансвер-сально. [38]
Если имеется коническая окрестность х: min jc jc - - y yj -: : уе / ( т) исключительного конуса, не содержащая никакого компактного инвариантного множества уравнения (4.2.1) и множества, которое в достаточно малой окрестности начала координат находится в сколь угодно малой конической окрестности исключительного конуса и в точках которого хтР ( х) 0, то исключительный конус называется неособым, в противном случае исключительный конус особый. [39]
Поэтому обе интегральные кривые не могут войти в начало координат вдоль исключительного конуса и согласно лемме 4.7.3 для каждого значения ( u 0 s0 r0) имеется только одно значение Н2о, такое, что интегральная кривая, проходящая через точку ( ю, 20, SQ, г0), входит в начало координат вдоль исключительного конуса. [40]
О, О, 1), ( 0, 1 0), ( 1 0 0) и ( ] / 3 / 3, УЗ / 3), а также 8 исключительных конусов ( x y z); z2 x2 и ( x y z): z2 y2, не являющихся минимальными, однако пет минимальных исключительных конусов. [41]
Если имеется коническая окрестность х: min jc jc - - y yj -: : уе / ( т) исключительного конуса, не содержащая никакого компактного инвариантного множества уравнения (4.2.1) и множества, которое в достаточно малой окрестности начала координат находится в сколь угодно малой конической окрестности исключительного конуса и в точках которого хтР ( х) 0, то исключительный конус называется неособым, в противном случае исключительный конус особый. [42]
Если имеется коническая окрестность х: min jc jc - - y yj -: : уе / ( т) исключительного конуса, не содержащая никакого компактного инвариантного множества уравнения (4.2.1) и множества, которое в достаточно малой окрестности начала координат находится в сколь угодно малой конической окрестности исключительного конуса и в точках которого хтР ( х) 0, то исключительный конус называется неособым, в противном случае исключительный конус особый. [43]
Со ( / 4) Х Х ( И-ро) 1, и неравенства (4.8.5) и (4.8.6) удовлетворены. В начало координат вдоль исключительного конуса в этом случае входят траектории данной системы, заполняющие трехмерное многообразие. [44]
A ( ] S на границе dS задней границы не является ретрактом задней границы, то вдоль исключительного конуса в точку покоя входят траектории, заполняющие некоторое замкну -, тое связное множество размерности, большей размерности исклю - - чительного конуса. Если же AftS является ретрактом задней границы dS, то вдоль исключительного конуса либо не входят траектории, либо траектории, входящие в точку покоя вдоль исключительного конуса, заполняют некоторое замкнутое связное множество. [45]