Cтраница 1
Выпуклый конус - это конус, являющийся выпуклым множеством. Выпуклым конусом, например, является всякое линейное пространство в Еа. Полупространство в Еа, определяемое гиперплоскостью, проходящей через нулевую точку, также конус. Так как пересечение выпуклых конусов является выпуклым конусом, то множество решений конечной системы однородных линейных неравенств - также выпуклый конус. Последний называется полиэдральным конусом. [1]
Выпуклый конус, полученный из конуса, построенного в следствии 2.6.2 ( или 2.6.3) присоединением начала координат, называют обычно выпуклым конусом, порожденным S, и обозначают через cone S. Таким образом, cone S в смысле нашего определения не есть наименьший выпуклый конус, содержащий S, ибо он обязан содержать начало, которое может и не принадлежать такому наименьшему конусу. [2]
Выпуклый конус называется острым конусом, если он не содержит ненулевых подпространств. Острый конус не содержит целиком ни одной прямой. Для острого многогранного конуса существует единственное ( с точностью до положительного скаляра) порождающее множество, элементы которого называем остовом конуса. [3]
Выпуклый конус, являющийся пересечением конечного числа полупространств, называется многогранным углом. Касательный конус выпуклой многогранной гиперповерхности в каждой точке является многогранным углом. [4]
Выпуклый конус V, сопряженный О. R существует такая евклидова метрика, что F V при отождествлении пространства R со своим сопряженным с помощью этой метрики. [5]
Полуограниченный выпуклый конус называется острым конусом. Km ( bm-a), принадлежащая конусу К, отлична от а. Для неострого конуса это свойство места не имеет. [6]
Выпуклый конус Св, отвечающий точке и, определяется аналогично с той лишь разницей, что векторы n ( f) имеют противоположное направление. [7]
Выпуклым конусом с вершиной О называется пересечение, олупространств с ограничивающими их гиперплоскостями, проходящими через точку О, содержащее точки, отличные от О. Важным примером выпуклого конуса является объединение всех лучей, исходящих из данной точки О, пересекающих замкнутое выпуклое множество М, не содержащее точку О. [8]
Это выпуклый конус, содержащий начало координат и замкнутый, если / замкнута. Как это подсказывается теоремой 8.6, направления, соответствующие векторам из рецессивного конуса /, разумно назвать рецессивными направлениями. [9]
Этот выпуклый конус так же, как и конус на рис. 2.8, не содержит ни одной точки неотрицательного ортанта R, кроме точки 0, однако его нельзя отделить от R с помощью гиперплоскости, имеющей положительную нормаль. Дело здесь, конечно, в том, что данный конус не является замкнутым. [10]
Всякий выпуклый конус является выпуклым множеством в пространстве V, рассматриваемом как аффинное пространство. [11]
Всякий выпуклый конус ( выпуклое множество, составленное из полупрямых, исходящих из одной точки, и не содержащее всего пространства) имеет гго крайней мере одну опорную плоскость. [12]
Рассмотрим выпуклый конус с вершиной в начале координат, огибаемый этими гиперплоскостями. Полость V этого конуса, лежащая по ту же сторону от гиперплоскостей Г, что и область SIm ( эта сторона может быть указана благодаря условию Вч), называется асимптотическим конусом области S. За асимптотический конус области S с ограниченным основанием S Im) мы принимаем множество 0 -начало координат. [13]
Поляра выпуклого конуса / С в силу предыдущих определений совпадает с полярой / С как выпуклого множества, поскольку полупространство х ( х, х 1 содержит К, в том и только том случае, когда х ( х, х) 0 содержит / С. [14]
Для выпуклых конусов понятие крайней точки не очень содержательно, поскольку единственным кандидатом в крайние точки служит начало координат. Вместо этого рассматривают крайние лучи, крайний луч - это фасад, являющийся лучом, исходящим из начала координат. Таким образом, крайние лучи выпуклого конуса находятся во взаимно однозначном соответствии с его крайними направлениями. [15]