Cтраница 2
Для любого ли действительного числа существует корень четной степени. [16]
Можно показать, что для любого положительного числа а корень четной степени п имеет два значения, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку. Его единственность видна из такого соображения. Это рассуждение применимо и к случаю корней нечетной степени. [17]
В случае, если мы хотим рассматривать оба значения корня четной степени из положительного числа, то пишем rtjX а; если перед корнем четной степени знак не написан, то всегда имеют в виду арифметическое значение корня. [18]
Здесь и в дальнейшем мы считаем корни квадратные и вообще корни четных степеней арифметическими. [19]
Это значит, что в области действительных чисел нельзя определить корень четной степени из отрицательного числа. [20]
Это значит, что в области действительных чисел нельзя определить корень четной степени из отрицательного числа. [21]
Здесь и в дальнейшем мы считаем корни квадратные и вообще корни четных степеней арифметическими. [22]
При подробном изучении комплексных чисел показывается, в частности, что корни четной степени из отрицательных чисел являются комплексными числами. Фраза корень четной степени из отрицательною числа не существует означает, что не существует действительного числа, являющегося корнем четной степени из отрицательного числа. [23]
При решении иррациональных уравнений мы ограничиваемся только их действительными корнями; все корни четной степени в записи уравнений понимаются в арифметическом смысле. [24]
При преобразовании иррациональных выражений будем рассматривать эти выражения над множеством всех действительных чисел: для корня четной степени из положительного числа будем брать только положительное его значение. [25]
Но решение ведется над полем действительных чисел, где, как известно, операции однозначны и потому корни четной степени имеют только одно значение, а именно: неотрицательное. [26]
В области действительных чисел возникшая трудность снята лишь частично: извлечение корня возможно, за исключением извлечения корней четной степени из отрицательных чисел. [27]
Если ограничиваться только вещественными числами, то, как известно, действие извлечения корня не всегда выполнимо; корень четной степени из отрицательного числа не имеет ответа в области вещественных чисел. В связи с этим уже квадратное уравнение с вещественными коэффициентами не всегда имеет вещественные корни. Это обстоятельство приводит, естественно, к расширению понятия о числе, к введению новых чисел более общей природы, частным случаем которых являются вещественные числа. При этом существенно определить эти числа и действия над ними таким образом, чтобы для новых чисел остались в силе все основные законы действий, известные для вещественных чисел. Это, как мы покажем дальше, оказывается возможным. [28]
Иррациональное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень. [29]
Во множестве действительных чисел выполнимы все перечисленные выше действия, как прямые, так и обратные, кроме действия извлечения корня четной степени из отрицательного числа и деления на нуль. [30]