Cтраница 3
Как следствие, ek при умножении на Т do и на Td дает одну и ту же стрелку. Но е - абсолютный коуравнитель, и потому Те является коуравнителем. Значит, существует единственная вертикальная стрелка т ( показанная штрихами), которая делает правый квадрат коммутативным. [31]
Пусть /, g - параллельная пара в категории А, причем пара G /, Gg имеет абсолютный коуравнитель. Тогда в А существует коуравнитель для /, g, причем G сохраняет и отражает коуравнитель такой пары. [32]
Обобщение тензорного произведения правого модуля на левый. Пусть в категории В существуют коуравнители, с - некоторый моноид, а: Ъ П с - Ъ - его правое, a z /: с П а - а - левое действие. [33]
Покажите, что вложение Haus - Тор не имеет правого сопряженного. Для этого покажите, что коуравнитель отображений хаусдорфовых пространств в категории Тор не обязательно хаусдорфов. Отсюда получите, что забывающий функтор Haus - Set не имеет правого сопряженного. [34]
Пусть в категории А всегда существуют коуравнители, G сохраняет коуравнители и отражает изоморфизмы. Докажите, что G отражает коуравнители. [35]
Пусть даны сопряжения ( 1), ( 2) и сравнивающий функтор К. А таких, что Gfj Gg имеют расщепленный коуравнитель. [36]
Пусть в категории А всегда существуют коуравнители, G сохраняет коуравнители и отражает изоморфизмы. Докажите, что G отражает коуравнители. [37]
Как следствие, ek при умножении на Т do и на Td дает одну и ту же стрелку. Но е - абсолютный коуравнитель, и потому Те является коуравнителем. Значит, существует единственная вертикальная стрелка т ( показанная штрихами), которая делает правый квадрат коммутативным. [38]
В результате около 1965 г. стал актуален вопрос об описании категории алгебр над монадой. В статье ( Pare [1971]) эта теорема сформулирована в терминах абсолютных коуравнителей, что позволило Паре ( § 9) дать изящное доказательство того факта, что компактные хаусдорфовы пространства являются монадическими. [39]
Пусть /, g - параллельная пара в категории А, причем пара G /, Gg имеет абсолютный коуравнитель. Тогда в А существует коуравнитель для /, g, причем G сохраняет и отражает коуравнитель такой пары. [40]
Просто доказывается, что уравнитель всегда является мономорфизмом, а коуравнитель есть эпиморфизм. Кроме того, доказывается, что уравнитель, являющийся эпиморфизмом, есть изоморфизм, и коуравнитель, являющийся мономорфизмом, также есть изоморфизм. [41]
В дальнейших упражнениях используются определения свойств СТТ, VTT, РТТ для функтора G: А - X. Тогда G обладает свойством СТТ, если G имеет левый сопряженный, сохраняет и отражает все существующие коуравнители, причем в А существуют коуравнители всех пар из CG - Далее, G имеет свойство VTT, если G имеет левый сопряженный, отражает коуравнители всех пар из SG, а в категории А существуют расщепленные коуравнители всех пар из SG-Наконец, G имеет свойство РТТ, если G имеет левый сопряженный, сохраняет и отражает коуравнители всех пар из SG и в категории А существуют коуравнители всех пар из SG - Ясно, что из СТТ и VTT следует РТТ. [42]
Существует характеризация тех параллельных пар 9o 9i, для которых некоторый ( а тогда и любой) коуравнитель расщеплен ( упр. [43]
Поскольку функтор Н является левым сопряженным, то он сохраняет копределы. В частности, копроизведе-ние в Haus совпадает с копроизведением в Тор ( поскольку копро-изведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово), а коуравнитель в Haus - это наибольшее хаусдорфово фактор-отображение для ко-уравнителя в Тор. [44]
В дальнейших упражнениях используются определения свойств СТТ, VTT, РТТ для функтора G: А - X. Тогда G обладает свойством СТТ, если G имеет левый сопряженный, сохраняет и отражает все существующие коуравнители, причем в А существуют коуравнители всех пар из CG - Далее, G имеет свойство VTT, если G имеет левый сопряженный, отражает коуравнители всех пар из SG, а в категории А существуют расщепленные коуравнители всех пар из SG-Наконец, G имеет свойство РТТ, если G имеет левый сопряженный, сохраняет и отражает коуравнители всех пар из SG и в категории А существуют коуравнители всех пар из SG - Ясно, что из СТТ и VTT следует РТТ. [45]