Cтраница 4
Первым шагом при подходе Сул-ливана является решение проблемы Тома: он приводит конструкцию коммутативных коцепей ( в духе де Рама), которая проходит над любым полем коэффициентов нулевой характеристики и для любого симплициального комплекса. Как мы узнали из [17], Том в действительности привел такую же конструкцию ( над вещественными числами) в неопубликованной лекции в 1959 г. Для любого односвязного симплициального комплекса X и соответствующего комплекса Сул-ливана - де Рама АХ Сулливан строит гомологическую эквивалентность Мх - АХ, где Мх является минимальной алгеброй. Минимальные алгебры свободны как градуированные коммутативные алгебры, значения же дифференциала в таких алгебрах являются разложимыми элементами. Каждой минимальной алгебре М Сулливан взаимно однозначно сопоставляет рациональную башню Постникова. Процесс очевидный, но в высшей степени неестественный. Сопоставления Х - МХ и М - Х ( М) используются Сулливаном для доказательства того, что рациональные гомотопические типы одно-связных клеточных разбиений соответствуют классам изоморфных односвязных минимальных алгебр и что соответствующие рациональные гомотопические категории эквивалентны. [46]
В верхней строке диаграммы стоят когомологий Александера - Спеньера, построенные по воем коцепям. Все вертикальные стрелки - изоморфизмы, и каждая строка точна. [47]
Когомологии Н1р ( В М) определяются, как всегда, через сопряженный комплекс коцепей. [48]
Далее распространим определение - умножения типа В на некоторые относительные группы цепей и факторгруппы коцепей. Мы осуществим это в два этапа. [49]
ТЕОРЕМА 15.7.2. Группы когомологай Нп ( А, 2) любой размерности п для ненормализованных коцепей изоморфны соответствующим группам для нормализованных коцепей. [50]