Cтраница 4
Известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей, поэтому две поверхности второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка. При определенных условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на. В частности, кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямые или две кривые второго порядка. Следует иметь в виду, что некоторые линии, на которые распадается кривая, могут быть мнимыми. [46]
Полученные точки на проекциях соединяем плавной кривой. Горизонтальная проекция линии перехода - окружность, фронтальная и профильная проекции - кривые четвертого порядка. [47]
Сен-Венан дал точные решения не только для эллиптического сечения, но также для равностороннего треугольного и для прямоугольного сечений, которыми мы еще займемся. Кроме того, он рассмотрел еще ряд сечений с контурами, образованными алгебраическими кривыми более высокого порядка, для которых точное решение легко указать. Например, Сен-Венан заменил квадратное и прямоугольное сечения такими, контуры которых образованы кривыми четвертого порядка, подходящими к сторонам этих сечений весьма близко. Это приводит к приближенной теории для квадратного и прямоугольного сечений, точное решение для которых не слишком отличается от решений для сечения, измененного указанным образом. Потребность в приближенном решении возникла потому, что точное решение для прямоугольного сечения можно представить лишь в вида бесконечного ряда, а не в конечной форме. [48]
Известно, что порядок линии пересечения поверхности равен произведению порядков поверхностей. Поэтому две поверхности вращения второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка. При определенных условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой линии. В частности, кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямых или две кривых второго порядка. Следует иметь в виду, что некоторые линии, на которые распадается кривая, могут быть мнимыми. [49]
Этому двойственно будет соответствовать внезапное изменение направления вращения касательной к кривой, хотя сама точка спокойно сохраняет направление своего движения. Это приводит нас к точкам перегиба ( или к касательным перегиба, черт. Пусть, например, нам даны два эллипса fl с 0 и / 2 О, пересекающиеся между собой в четырех действительных точках. Положим теперь / J / 2 е, где е - достаточно малое число. Тогда это уравнение будет представлять кривую четвертого порядка С4, проходящую совсем близко от эллипсов, а именно, смотря по тому, будет ли е 0 или 0, в положительных или отрицательных частях плоскости ( черт. [50]
В конце XVII и начале XVIII века к сделанному Декартом и Ферма было добавлено немало. Совершенствовался самый метод координат: Ферма рассматривал в основном только первый квадрант ( х0, з / 0), Декарт - первый и четвертый ( х0); постепенно использование ординат и абсцисс обоих знаков становится обиходным, широко используется переход от одной системы декартовых координат к другой, начинается применение и новых систем ( полярных координат, биполярных); появляется и третья координата для изучения пространственных фигур, вырабатывается представление, что одно уравнение с тремя неизвестными соответствует некоторой поверхности. Разумеется, во всем этом сказывались успехи алгебры, обобщение понятия числа. Значительно продвинулось выполнение программы Ферма. Был сделан следующий важный шаг: начата разработка теории кривых третьего порядка. Ньютон, открывший эту новую главу, писал: Геометры повсюду излагают главным образом свойства конических сечений. Но свойства кривых второго и других родов аналогичны, как это выяснится из нижеследующего перечисления... Он обобщает при этом такие понятия, как диаметр, вершина, центр, асимптота кривой, и на основе указанных им свойств кривых третьего порядка дает их классификацию и канонические уравнения для пяти отдельных типов. Все это приводится без доказательства - может быть, потому, что пользоваться при этом алгебраическими методами означало бы признать их превосходство, а обращаться к чисто геометрическим построениям было бы чересчур искусственно и сложно. Стирлинг, Маклорен, Клеро и другие математики в первые десятилетия XVIII века доказывают и пополняют результаты Ньютона. Вместе с тем начинается исследование и кривых четвертого порядка, как отдельных типов, так и в общем виде. [51]