Cтраница 2
Многомерным обобщением понятия эллиптической кривой является абелево многообразие. По определению, абелево многообразие А над полем К - это гладкое проективное многообразие с групповой структурной, определенной морфизмамй над К. Можно показать, что на проективном многообразии любая такая структур. [16]
Если индекс самопересечения эллиптической кривой на поверхности ранен р, то нормальное расслоение имеет р линейно независимых сечений. [17]
Самый простой пример эллиптической кривой с комплексным умножением строится так. Посмотрим на поле k Q ( / - D) как на подполе в поле комплексных чисел: k с С. [18]
На поверхности с пучком эллиптических кривых канонический класс содержит дивизор, состоящий из компонент слоев. [19]
Таким образом, эллиптическую кривую Г можно представить себе как параллелограмм со сторонами ( o i, u - i, в котором отождествлены соответственные точки на противоположных сторонах. [20]
Аналогичное утверждение для расслоений эллиптических кривых, тотальное пространство которых имеет тривиальный канонический класс, можно доказать с помощью описания Кодаиры вырожденных слоев. [21]
Топологически нетривиальные расслоения над эллиптической кривой. [22]
Проблема определения рациональных точек эллиптической кривой тесно связана с решением диофантовых уравнений, уже обсуждавшихся нами. [23]
Таким образом, множество эллиптических кривых над k, имеющих w своим якобиевым многообразием и бирационально эквивалентных из над К, отображается на множество скрещенных гомоморфизмов группы Галуа G поля K / k в группу точек 21 на и с координатами из К. Если мы включим в понятие эллиптической кривой с заданным якобиевым многообразием о и каноническую функцию Ф, отображающую группу классов дивизоров нулевой степени на 7 на кривую ш, то преобразования второго типа с s l отпадут, и бирациональные ( в новом смысле) классы кривых j будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с элементами одномерной группы гомологии [4] H1 ( G, 21), Групповая операция, определенная на Hl ( G, 21 -), естественно переносится на эти классы. [24]
Изучаются свойства делимости точек эллиптических кривых над конечным полем. Приводится описание множеств точек порядков 3 и 4 на эллиптической кривой, имеющих координаты из основного поля. Построен критерий делимости на 2 точек произвольных эллиптических кривых над конечным полем. [25]
Простейшей поверхностью, содержащей эллиптическую кривую, является прямое произведение эллиптической кривой на комплексную прямую. Подобно тому, как над окружностью кроме прямого произведения окружности на прямую есть нетривиальное расслоение со слоем прямая ( лист Мебиуса), над эллиптической кривой, кроме прямого произведения, существуют другие расслоения со слоем С. [26]
Применим полученную классификацию расслоений на эллиптические кривые к исследованию одного типа поверхностей, который встречался нам уже раньше ( § 7, гл. Именно, рассмотрим поверхности V с инвариантами р О, q 1, для которых отображение Альбанезе тг: V - В имеет в качестве слоев эллиптические кривые. [27]
Насколько велико может быть множество эллиптических кривых в пространстве орбит полиномиального векторного поля. [28]
Предположим, что индекс самопересечения эллиптической кривой на поверхности положителен. В этом случае гомологическое уравнение, изученное в предыдущем пункте, вообще говоря, неразрешимо, так как e s ч 7 растет при s - ос. Окрестность эллиптической кривой с положительным индексом самопересечения называется положительной. [29]
Предположим, что нормальное расслоение эллиптической кривой отрицательно. В классе нулевых нормальных расслоений жесткость нарушается лишь с вероятностью ноль. Условие резонанса имеет вид А. [30]