Cтраница 3
Остальным фазовым кривым отвечают значения Н - v, причем при - v Н v - это замкнутые фазовые кривые, охватывающие точку Oi и изображающие периодические колебательные движения, а при Н v - замкнутые кривые, охватывающие цилиндр и изображающие периодические вращательные движения. Период т этих движений завл-сит от v л Я. При Н - - v он стремится к 2л / Уу, при Н - v неограниченно возрастает, а при II - - стремится к нулю. [31]
Примером такой двухпараметрической задачи, которая кажется на первый взгляд однопараметрической, является задача о потере устойчивости замкнутой фазовой кривой. Здесь естественным параметром является модуль собственного числа оператора монодромии; второй параметр, обычно упускаемый из виду, - это аргумент собственного числа, переходящего через единичную окружность. [32]
Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение х - v ( x), имеющее периодическое решение и, следовательно, замкнутую фазовую кривую. Все сказанное выше об окрестности нулевого решения уравнения с периодическими коэффициентами непосредственно переносится на этот случай. [33]
Период этого периодического движения равен 2пр, a 2nq имеет смысл общего изменения угла ф при обегании фазовой точкой замкнутой фазовой кривой, отвечающей синхронизму Tpq. Поэтому синхронизм с q 0 отвечает колебательному движению, а синхронизм с с / й 0 - вращательному. [34]
Предположим, что система (6.26) нелинейная и имеет на плоскости ( х, у) ячейку D, заполненную замкнутыми фазовыми кривыми. [35]
О, BO ( UO) 0), то в исходной системе ему отвечает грубый устойчивый предельный цикл - изолированная замкнутая фазовая кривая. Все близкие фазовые кривые асимптотически при t - ос к ней приближаются. [36]
Метод нормальных форм является основным методом локальной теории дифференциальных уравнений, описывающей поведение фазовых кривых в окрестности особой точки или замкнутой фазовой кривой. В книге изложены основы метода нормальных форм Пуанкаре, включая доказательство фундаментальной теоремы Зигеля о линеаризации голоморфного отображения. [37]
Пусть а - вещественное уравнение с рациональной правой частью, имеющее на вещественной плоскости особую точку типа центр; Z - одна из замкнутых фазовых кривых на R2, расположенная в той окрестности центра, где все неточечные фазовые кривые замкнуты. [38]
Замкнутую фазовую кривую системы ( 99) назовем предельным циклом, если ни через какую точку некоторой окрестности этой кривой не проходит ни одна замкнутая фазовая кривая. Доказать теорему Пуанкаре: в некоторой окрестности любого предельного цикла для всех одновременно внутренних18) ( а также внешних) фазовых траекторий предельный цикл является множеством cj - предельных или а-предельных точек. В каком случае предельный цикл служит фазовой кривой устойчивого или асимптотически устойчивого решения. [39]
К перечисленным бифуркациям периодического движения Г - , вызванным переходами через бифуркационные поверхности N i, N-i и Nv, следует добавить бифуркации, при которых замкнутая фазовая кривая, отвечающая периодическому движению Гп, стягивается к состоянию равновесия или на ней появляется состояние равновесия, и она превращается в петлю, идущую из этого состояния равновесия в него же. [40]
Следующей по сложности задачей теории бифуркаций ( после задачи о перестройке фазовых портретов в окрестности положений равновесия) является задача о перестройках семейства фазовых кривых в окрестности замкнутой фазовой кривой. Эта задача полностью не решена и, по-видимому, в некотором смысле неразрешима. Тем не менее, общие методы теории бифуркаций позволяют получить существенную информацию об этих перестройках; в настоящем параграфе дается краткий обзор основных результатов в этом направлении. [41]
Точке х х 0, лежащей внутри этих замкнутых кривых, отвечает состояние равновесия. Замкнутые фазовые кривые рис. 1.2 вместе с состоянием равновесия образуют фазовый портрет гармонического осциллятора. [42]
Тогда замкнутой фазовой кривой - предельному циклу 7 динамической системы - ставится в соответствие неподвижная точка х отображения ( рис. 2.25), и анализ устойчивости предельного цикла сводится к анализу устойчивости неподвижной точки. Рассмотрение этого вопроса мы отложим до § 19, где подробно исследуются точечные отображения. [43]
Замкнутая фазовая кривая называется невырожденной, если единица не является мультипликатором. При деформации невырожденной замкнутой фазовой кривой мультипликаторы также лишь немного деформируются. Следовательно, как число устойчивых, так и число неустойчивых мультипликаторов не меняется при деформации, если ни один из мультипликаторов исходной фазовой кривой не лежал на единичной окружности. [44]
Они окружены замкнутыми фазовыми кривыми, соответствующими колебаниям маятника. [45]