Хаотический аттрактор
Cтраница 3
В неавтономном режиме работы генератора в области существования квазипериодического движения, соотношение периодов которого далеко от сильного резонанса ( q 5), наблюдалось мягкое рождение хаотического аттрактора в результате бифуркаций удвоения двумерного тора. [31]
Проблема управления хаосом восходит к классической работе Отта, Гребожи и Йорка [175], в которой было показано, что неустойчивые периодические орбиты, составляющие скелет хаотического аттрактора динамической системы с малым числом степеней свободы [176], могут быть использованы для управления динамикой нелинейной системы, причем стабилизация неустойчивой периодической орбиты требует весьма малого возмущения поведения системы. В работе [175] был предложен алгоритм управления хаосом, основанный на малых изменениях управляющего параметра р хаотической системы. Изменение параметра осуществляется тогда, когда фазовая траектория системы проходит через выбранное сечение Пуанкаре ( в некоторой точке х), чтобы направить ее к стабилизируемой неустойчивой орбите, которой соответствует неустойчивая неподвижная точка XQ в сечении Пуанкаре. [32]
Совместный анализ фазовых диаграмм для линейных, поворотных и сдвиговых мод деформаций показывает, что диссипативные структуры развиваются в определенной последовательности, проявляются сочетанием бифуркаций различной соразмерности в виде регулярных и хаотических аттракторов. Таким образом, деформируемый поликристаллический материал может быть представлен как грубая система, т.е. топологическая структура фазовой диаграммы устойчива в некотором диапазоне изменения деформации. Под аттрактором понимаем геометрическую структуру, отражающую устойчивое поведение деформируемого материала в фазовом пространстве. [33]
Далее, существует проблема предсказательной частоты. Хаотический аттрактор для американского рынка имеет в среднем четырехгодичный непериодический цикл. Это подразумевает долговременный инвестиционный горизонт. [34]
Выше говорилось, что для аттракторов-многообразий фазовый объем, отвечающий размерности аттрактора, сохраняется. Для хаотических аттракторов обычно получается так, что Kk 0, а к ] 0, и целой размерности, обладающей таким свойством, не существует. [35]
Соотношение (12.32) называют формулой Каплана-Йорке по именам исследователей, предложивших ее в 1979 г. Первоначальная гипотеза состояла в том, что эта формула позволяет вычислять информационную размерность аттракторов. Для хаотических аттракторов двумерных обратимых отображений, у которых AI 0 и А2 0, это утверждение доказано строго. Однако в общем случае доказать предположение Каплана-Йорке не удается, и, по-видимому, оно, вообще говоря, и не справедливо. В то же время, численно оценка размерности по формуле (12.32) получается обычно очень хорошей. Соломоново решение, принятое научным сообществом в отношении формулы Каплана-Йорке, состоит в том, чтобы рассматривать ее как определение новой фрактальной размерности, которую называют ляпуновской размерностью. Большое практическое преимущество этой размерности состоит в простоте ее вычисления, поскольку для этого требуется только спектр ляпуновских показателей. [36]
Вычисленные области синхронизации для этой системы показаны натис. В областях-синхронизации хаотический аттрактор, имеющий для автономной системы вид, показанный на рис. 9.38, а, изменяется в зависимости от значений В и v на двух -, трех -, четырех - или шести-оборотные циклы. Области трех и шестиоборотных циклов на рис. 9.67 заштрихованы. Отметим, что переход внутри областей синхронизации от двухоборотных к четырехоборотным и от трехоборотных к шести-оборотным циклам сопровождается бифуркациями удвоения периода. Из диаграмм видно, что при 5 2 вблизи границ области синхронизации происходит каскад бифуркаций удвоения периода, приводящий к хаосу. Бифуркации удвоения внутри областей синхронизации не дают начала серии таких бифуркаций и, следовательно, не приводят к хаосу. [37]
Ниже мы рассмотрим некоторые методы анализа хаотических аттракторов. Для описания хаотического аттрактора мы будем использовать показатели Ляпунова ( см. § 2.5) или будем изучать его структуру с помощью отображения Пуанкаре. [38]
Обратим внимание на то, что в соответствии с полученными оценками Фурье-размерность очень быстро растет с ростом длины области. Фрактальная размерность реальных хаотических аттракторов ( в частности, ляпуновская размерность), как показали расчеты, растет существенно медленнее. Эти величины даже для небольших областей ( / 10) могут отличаться на несколько порядков. Вероятно, для анализа реальных хаотических аттракторов могут быть построены более тонкие оценки. [39]
 |
Кольцевой резонатор, возбуждаемый внешним источником когерентного излучения, - физическая система, для описания которой предложено отображение Икеды. [40] |
Вычисление якобиана отображения Икеды приводит к результату J В2, так что при В 1 эта система диссипативная. На рис. 5.5 показаны портреты хаотических аттракторов, реализующихся в отображении Икеды при различных значениях параметра А. [41]
 |
Аттрактор Хенона. Чувствительная зависимость от начальных условий. [42] |
Если увеличить часть отображения Хенона ( аттрактор)) то станет видно больше деталей; чем больше будет увеличение, тем больше обнаружится деталей. Это отображение, как и большинство хаотических аттракторов, является фракталом. Подсчет методом оконного скейлинга дает фрактальну10 размерность этого аттрактора, равную 1.26. Это больше, чем кривая и меньше, чем плоскость, - подобно временному рыночных прибылей. [43]
Таким образом, любая повторяемость состояний системы - временная, регулярные повторения определенных структур динамики невозможны. Из неустойчивости следует и перемешивание на хаотических аттракторах: если выбрать множество близких начальных условий, то через некоторое время ( обратно пропорциональное наибольшему ляпуновскому показателю) эти точки будут равномерно распределены по всему аттрактору. [45]
Страницы: 1 2 3 4 5