Хаотический аттрактор

Cтраница 4

Она, разумеется, зависит от конкретной системы и от выбора режима. Формула Каплана-Йорке, которая обычно дает правильную оценку фрактальной размерности хаотических аттракторов, к критическому аттрактору неприменима. Старший ляпуновский показатель критического аттрактора равен нулю. [46]

Отклонение фазы системы Лоренца от равномерного вращения выглядит как типичный диффузионный процесс ( случайные блуждания. [47]

Поскольку хаотическая система - перемешивающая, локализованное вначале облако в конце концов расплывается по хаотическому аттрактору. [48]

Возможности вычисления фрактальных размерностей аттракторов, превышающих четыре или пять, вызывают вопросы, но в применении к маломерным хаотическим аттракторам эта методика приобретает все большую популярность у экспериментаторов. [49]

Эволюция набора изображающих точек, располагавшихся в начальный момент в узлах прямоугольной сетки на фазовой плоскости ( х, у, для ансамбля, составленного из отображений Эно хп 1 - ах, - Ъх, уп 1 хп при а 1 4, Ь - 0 3. [50]

Из рисунка можно видеть, как изображающие точки на фазовой плоскости ( х, ж), расположенные в начальный момент в узлах прямоугольной сетки, с течением времени оседают на предельный цикл. На диаграммах, представляющих распределение точек на нескольких последовательных шагах дискретного времени, можно видеть, как постепенно прорисовывается хаотический аттрактор - аттрактор Эно. [51]

В работе ( Grebogi, Ott, Yorke, 1983b) впервые отмечено, что такие столкновения приводят к внезапным изменениям хаотического аттрактора. Простым примером служит окно периода 3 логистического отображения ( см. рис. 43), где касательная бифуркация порождает три устойчивые и три неустойчивые неподвижные точки. [52]

Уравнение Макки-Гласса, чувствительность показателя Херста к шуму. [53]

На Рисунке 16.2 показаны значения Н по мере добавления возрастающего шума к уравнению Макки-Гласса. С другой стороны, данные Н ниже 0 65, которые обнаруживаются на рынках, вероятно, не вызваны просто добавлением измерительного или аддитивного шума к хаотическому аттрактору, но могут, вместо этого, быть вызваны дробным шумом. [54]

Вместе с тем в одном важном отношении система (6.12) отличается от системы Лоренца. Множество работ, выполненных в 80 - е годы, показали, что хаос, наблюдающийся в экспериментах с подогреваемым снизу слоем жидкости, принципиально отличается от хаотических аттракторов в системе Лоренца. В том двумерном течении, описать которое была призвана система Лоренца, имеют место только периодические решения. Чтобы получить их в конечномерной галеркинской модели, нужно брать не три, а около сотни гармоник. [55]

Другая возможность выявить когерентность состоит в том, чтобы образовать ансамбль копий данной хаотической системы. Без внешней силы такое свойство хаоса как перемешивание приводит к отсутствию когерентности в ансамбле: начав с различных начальных условий, изображающие точки, в конце концов, покрывают весь хаотический аттрактор, в соответствии с естественной инвариантной мерой. При этом маленькое облако точек вращается как устойчивый объект и не расплывается. [56]

В данной лекции будет рассмотрена именно такая система - диод Пирса, который позволяет при анализе некоторых режимов колебаний ограничиться гидродинамическим описанием. Отметим, что диод Пирса, являясь простейшей моделью электроники СВЧ, тем не менее демонстрирует многие нелинейные явления, включая динамический хаос, классический сценарий перехода к стохастичности, перестройку хаотического аттрактора с изменением управляющего параметра, синхронизацию хаотических колебаний внешним гармоническим сигналом. [57]

В этом случае соответствующий аттрактор называют хаотическим. Как правило, хаотические аттракторы имеют сложную фрактальную структуру. Растяжение по одним направлениям компенсируется сжатием и формированием складок по другим. В настоящее время основной иллюстрацией этого процесса является подкова Смейла. [58]

Здесь же обсуждаются методы определения устойчивости, нахождения точек ветвления решений ( вещественных и комплексных бифуркаций), а также методы построения бифуркационных диаграмм. Далее рассматриваются способы вычисления и определения устойчивости периодических решений, построение зависимостей периодических решений от параметра; проанализированы также механизмы ветвления периодических решений. Заключительная часть главы посвящена исследованию хаотических аттракторов, построению эволюционных диаграмм и методам нахождения периодических решений неавтономных систем. Здесь же кратко описаны стандартные численные методы моделирования динамических систем. [59]

Из гиперболичности следует структурная устойчивость динамической системы. Однако исследовать на гиперболичность любую конкретную систему, встречающуюся на практике, обычно невероятно трудно. На сегодняшний день имеется считанное число хаотических аттракторов, для которых свойство гиперболичности доказано. Тем не менее, в теоретических построениях предположение о гиперболичности оказывается полезным и часто используется. [60]

Страницы: 1 2 3 4 5