Cтраница 4
Действительно, поскольку всякое ограниченное множество из / г содержится в некотором шаре этого пространства, достаточно доказать, что образы шаров предкомпактны, а в силу линейности оператора - достаточно проверить это для единичного шара. Но оператор ( 1) переводит единичный шар пространства / 2 в множество точек, лежащее внутри основного параллелепипеда ( см. гл. Следовательно, это множество вполне ограничено, а значит, и предкомпактно. [46]
Оптимальный по Винеру фильтр L ( / со), который находится в классе линейных фильтров с постоянными параметрами, минимизирует дисперсию De ошибки е ( t) при условиях стационарности и линейности оператора Я ( / со), стационарности процессов х ( t), т з ( t) и связи между ними, а также подведения процесса w ( t) х ( t) i) ( t) к фильтру в течение бесконечного долгого прошлого времени. [47]
Так как множество М выпукло, то в сиЛу линейности оператора Л множество - N AM также выпукло. Очевидно, что и есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется однозначно. [48]
Допустим, что известна реакция объекта на некоторое счетное множество простых воздействий / n, n E / V. Если есть возможность представить сложное воздействие / в виде линейной комбинации простых воздействий, то в силу линейности оператора L и реакцию системы можно представить в виде линейной комбинации реакций на простые воздействия. Возникает проблема представления заданной функции в виде конечной или бесконечной линейной комбинации известных простых функций. Например, в теории колебаний возникает проблема разложения сложного колебания в сумму простых гармоник вида А sm ( ukt а /), где uj - известная последовательность частот. В строгой математической постановке подобные задачи изучаются в теории рядов Фурье. [49]
Общей формулировкой квантовой механики является следующее положение. Каждой физической величине отвечает определенный линейный оператор. Линейность оператора L означает, что L ( cifi C2 / 2) CiL / i c2Lf2, где / 1 и / 2 - функции; Ci и С2 - постоянные. [50]
В квантовой механике используются только такие операторы физических величин, которые являются линейными и самосопряженными. Линейными называют операторы, удовлетворяющие условию М ( с с2 2) c ifo - f с 2Л1ф2, - где ci и с2 - постоянные; и tp2 - волновые функции. Требование линейности оператора связано с одним из основных принципов квантовой механики - принципом суперпозиции состояний: если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями т и 1) 2 то она может находиться и в состоянии, которое описывается волновой функцией т з с C2 f2, где с и са - постоянные. [51]
Покажем, что сопряженный оператор А, действующий в Е, переводит каждое ограниченное подмножество из Е в предкомпактное. Поскольку всякое ограниченное подмножество нормированного пространства содержится в некотором шаре, достаточно показать, что А переводит каждый шар в предкомпактное множество. В силу линейности оператора А достаточно показать, что образ A S замкнутого единичного шара S cE предкомпактен. [52]