Cтраница 3
Поскольку для доказательства мы использовали тогда только закон живой силы и законы движения центра тяжести, а эти законы остаются сейчас в силе без изменений, наше доказательство остается применимым и здесь; вместо линии центров при столкновении появляется, конечно, снова линия апсид. [31]
ВН, фиксирующий расстояние Луны на эпицикле относительно истинного перигея в; при этом оказывается, что найденное положение Луны не совпадает с вычисленным по таблицам средних движений, если отсчет вести от истинного апогея Z; 4) положение на эпицикле среднего перигея М; 5) отрезок EN, отсекаемый на линии апсид эксцентра продолжением радиуса эпицикла, проходящего через средний перигей. [32]
Здесь р - фокальный параметр орбиты, определяющий ее линейные размеры; е - эксцентриситет орбиты, характеризующий ее форму ( е 0 - окружность, 0 е 1 - эллипс, е 1 - парабола, е 1 - гипербола); / л - истинная аномалия, т.е. угол между осью симметрии ( линией апсид) и текущим радиусом-вектором точки; spvLtpp - радиальное и угловое расстояния перицентра Р от притягивающего центра Qi и оси х соответственно. [33]
Вектор X направлен вдоль линии апсид орбиты; таким образом, этот вектор определяет положение самой орбиты в ее плоскости. [34]
В отсутствие диссипации приливной энергии внутри Земли в движении Луны не возникает интересующих нас эффектов. Любое воздействие на движение узлов или линии апсид было бы чрезвычайно мало по сравнению с солнечными возмущениями. Среднее расстояние, эксцентриситет, наклонение орбиты спутника и наклонение оси вращения Земли не обнаруживают каких-либо вековых изменений. Дарвин [8] провел исчерпывающее теоретическое исследование вековых изменений этих элементов, считая Землю вращающейся вязкой жидкостью. Хотя результаты Дарвина нельзя непосредственно применить к реальной Земле, они тем не менее должны приниматься во внимание. [35]
Птолемей исходит из предположения, что орбита Венеры симметрична относительно линии апсид эксцентра. Положение апогея на эксцентре поэтому может быть определено на основе двух наблюдений видимой долготы Венеры в моменты ее максимальных элонгации ( восточной и западной) равной величины. [36]
Птолемей обосновывает неприменимость эксцентрической модели для описания движений планет; здесь же такая возможность допускается для трех верхних планет. На самом деле эксцентрическая модель может быть применена и для нижних планет, если предположить, что линия апсид эксцентра вращается относительно центра эклиптики, где находится наблюдатель, не со скоростью среднего солнца ( как это принято для верхних планет), а со скоростью, равной сумме скоростей среднего солнца и средней аномалии планеты; эта величина есть не что иное как средняя скорость гелиоцентрического движения планеты. [37]
Наибольшее отклонение, или максимальная элонгация ( 5юотиоц или шгоотиоц) Меркурия и Венеры ( от Солнца), определяется, согласно Птолемею, как максимум разности истинных долгот планеты и Солнца. Величина разности зависит от расстояния центра эпицикла планеты от наблюдателя и, следовательно, от положения его относительно линии апсид. Птолемей стремится построить таблицу значений максимальной элонгации как функции долготы планеты. Однако максимальные элонгации вычисляются им только для крайних точек знаков зодиака; промежуточные значения должны затем определяться линейной интерполяцией. С течением времени вследствие прецессии изменяется положение линии апсид относительно точки весеннего равноденствия, что приводит к изменению табличных значений максимальной элонгации. Таблицы поэтому должны периодически обновляться. [38]
Птолемей не объясняет свою вычислительную процедуру, однако ясно, что вычисления наиболее просты, когда центр эпицикла находится на линии апсид на наибольшем и наименьшем расстояниях от наблюдателя. Максимум эклиптической аномалии, т.е. максимальная разность истинной и средней долгот планеты ( ZBE) зависит не от ЕД, а от расстояния наблюдателя от центра равномерного вращения EZ; если, как пишет Птолемей, EA: EZ 1: 2, то это означает, что центр равномерного вращения Z не совпадает с центром деферента Д и находится от наблюдателя по сравнению с Д на удвоенном расстоянии. Это важное место содержит, по-видимому, указание на тот путь, который позволил Птолемею прийти к идее экванта. [39]
Очевидно, что если траектория проходит через наинизшую или наивысшую точки сферы, то траекториею должен быть вертикальный круг. Если мы исключим из рассмотрения этот случай, то будут существовать верхний и нижней пределы для значений 9; кроме того, на основании такого же рода рассуждений, как в теории линии апсид центральной орбиты ( § 88), очевидно, что траектория симметрична относительно плоскости меридиана, проходящей через точку, в которой направление движения горизонтально. Следовательно, траектория расположена между двумя горизонтальными кругами, которых она последовательно касается через равные интервалы азимутального угла. [40]
Угол Е между отрезком OiAl и линией апсид называется эксцентрической аномалией. [41]
В предыдущей главе показано, что линия апсид эксцентра пересекает эклиптику в двух точках с долготами 25 Тельца и 25 Скорпиона. Неизвестно, однако, какая из них представляет апогей, а какая перигей эксцентра. Задача решается на основе двух наблюдений максимальной элонгации Венеры таких, что среднее солнце, совпадающее с центром эпицикла, находится на линии апсид или поблизости от нее. Апогею соответствует наименьшая из двух величин максимальной элонгации. [42]
Кроме того, вторая материальная точка должна была бы иметь массу тт ( т - - т вместо своей действительной массы. Из полной симметрии всякого центрального движения непосредственно следует, что g g, b - b ( ср. Линия, соединяющая OTJ с той точкой, в которой т во всем своем относительном центральном движении находится ближе всего к От ], является осью симметрии траектории точки т в ее относительном центральном движении; мы назовем ее линией апсид. Она играет ту же роль в центральном движении, как линия центров при упругом соударении. Плоскость относительного центрального движения мы называем плоскостью траектории. [43]
Ближайшая к притягивающему центру точка П орбиты спутника называется перицентром. Линией ( или осью) апсид орбиты спутника называется ось, проходящая через притягивающий центр А и перицентр Я в направлении от Л к Я. Направления оси апсид и вектора Лапласа совпадают. Линия апсид служит, очевидно, осью симметрии орбиты. [44]
В этой главе Птолемей приводит метод для определения уравнения с как функции средней эксцентрической аномалии / с. Он доказывает также, что три соответствующие величины ( к, / сие) взаимозаменяемы в том смысле, что если известна одна из них, то в принятой кинематической модели могут быть вычислены и две другие. При этом Птолемей раздельно рассматривает два случая - когда отсчет / с производится от апогея и от перигея. Уравнение с как функция к обладает симметрией относительно линии апсид. Параллельно Птолемей дает метод для определения с как функции средней эпициклической аномалии а в эпициклической модели. [45]