Cтраница 2
В противоположность чистой математике, где величины по определению обладают теми свойствами, которые им произвольно приписаны, в физике необходимо не приписывать, а открывать отдельные объективно существующие свойства. [16]
Различие между прикладной и чистой математикой существенно проявляется также и в требованиях к однозначности определений, применяемых понятий и утверждений. Одним из основных принципов чистой математики является то, что все свойства любого изучаемого понятия должны вытекать только из его формального определения и как бы потенциально уже заключенного в нем. Соответственно все утверждения должны включать только формально определенные понятия и такие логические соотношения, которые полностью предопределяют справедливость или ложность каждого утверждения. [17]
Согласно современным воззрениям чистая математика представляет собою гипотетически-дедуктивное учение об отношениях, она разрабатывает теорию чистых логических форм, не заботясь о той или иной из возможных конкретных интерпретаций. [18]
В мировой схематике чистая математика возникла из чистого мышления; в натурфилософии она - нечто совершенно эмпирическое, взятое из внешнего мира и затем обособленное. [19]
В мировой схематике чистая математика возникла из чистого мышления; в натурфилософии она - нечто совершенно эмпирическое, взятое из внешнего мира и аател. [20]
В мировой схематике чистая математика возникла из чистого мышления; в натурфилософии она - нечто совершенно эмпирическое, взятое из внешнего мира и затем обособленное. [21]
Согласно определению Энгельса чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира ( Анти-Дюринг), Сообразно этому математика, в общих чертах, делится на Геометрию и Анализ. [22]
Уже на уровне чистой математики можно заметить, что результаты расчетов по формуле ( 26) только случайно могут совпадать с результатами дисконтирования. Например, согласно формуле Гордона, денежный поток в размере 1 долл. [23]
В абстрактном мире чистой математики фрактальные структуры рассмотренного нами типа принято называть упорядоченными фракталами. Разумеется, в реальном мире никаких упорядоченных фракталов не существует. Береговые линии, деревья, реки, облака, молнии, траектории частиц в броуновском движении и тысячи других фракталоподоб-ных явлений можно рассматривать как несовершенные модели, которые в определенных пределах сверху и снизу являются фракталами в статистическом смысле. Самоподобие их проявляется в том, что они сохраняют статистическое подобие независимо от масштаба. Фрактальные размерности при различных масштабах подлежат усреднению, и, для того чтобы проводить такое усреднение, необходимо накопить достаточно обширный запас эмпирических данных. Такие фракталы называются случайными, или статистическими. Например, береговые линии имеют фрактальные размерности, которые изменяются от побережья к побережью. [24]
Даже в области чистой математики на счету у компьютеров имеется ряд замечательных достижений, особенно в теории конечных групп. Однако в этой области мало задач, пригодных для машинных вычислений, и даже среди этих немногих большинство требует для решения слишком много времени; быстродействия современных ( а скорее всего, и завтрашних) компьютеров для решения таких задач еще недостаточно. [25]
Роль и значение прикладной и чистой математики в жизни общества совершенно различны. Уровень развития прикладной математики в стране, наличие современной электронно-вычислительной техники и умение ее использовать составляют один из важных показателей экономической мощи страны. Эта специфика прикладной математики влечет за собой и особенности работы прикладных математиков, их большую ответственность за получаемые ими результаты, так как допущенная ошибка в проведенных ими расчетах может дорого обойтись людям. [26]
Ученый, занимающийся чистой математикой, в первую очередь исследовал бы форму разложения и условия, при которых оно возможно. В прикладной математике как форма разложения, так и ее применимость зачастую просто принимаются. Однако не всегда ясно, какова эта форма, и поэтому легко принять неправильную форму ( ср. Карслоу [17], где опущен постоянный член; см. также соотношение (8.3) гл. Одно из преимуществ метода преобразования Лапласа заключается в исключении ошибок такого типа. [27]
Интересно заметить, что чистые математики, движимые только чувством стройности и математической формы, часто приходили к выводам, которые в дальнейшем оказывались чрезвычайно важными для науки. [28]
По определению Энгельса, чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира... [29]
Конспекты Лобачевского по преподаванию чистой математики на 1824 - 1825 г. и на 1825 - 1826 г. начинаются каждый вступительной статьей, озаглавленной Способ преподавания вообще. В обоих конспектах содержатся почти одни и те же мысли; во втором конспекте они изложены несколько более сжато, более концентрированно. [30]