Cтраница 2
Первые результаты в теории абсолютной устойчивости были получены советскими математиками Л. М. Лотовым, М. Л. Ай-зерманом, А. И. Лурье и др. методом построения функции Ляпунова вида квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности. [16]
Разные варианты этой проблемы были с успехом исследованы выдающимися советскими математиками А. А. Марковым и П. С. Новиковым, а также их учениками. [17]
В разработке того круга вопросов, которому посвящена книга Халмоша, советским математикам принадлежит одно из первых мест. Однако Халмош, следуя общей тенденции, принятой в американской научной литературе последнего времени, избегает цитирования советских авторов. Укажем лишь некоторые наиболее характерные, примеры. VIII рассматривается вопрос об условиях изоморфизма меры на абстрактном пространстве с лебеговской мерой на отрезке. Наиболее исчерпывающим образом этот вопрос был решен в работах В. А. Рохлина, совершенно не упомянутых автором. IX ( Вероятность) представляет собой, по существу, обработку идей, содержащихся в известной монографии А. Н. Колмогорова Основные понятия теории вероятностей, однако эта работа упомянута автором лишь по двум, довольно частным, поводам. XII вопрос о включении группы с заданной на ней инвариантной мерой в локально компактную, Халмош ни словом не упоминает о работах Д. А. Райкова, решившего в своей докторской диссертации аналогичный вопрос для коммутативных групп. Таким образом, необходимо учитывать, что книга Халмоша, давая подробное изложение теории меры и ее приложений / в то же время не может сколько-нибудь правильно ориентировать читателя в вопросах истории этих разделов науки. [18]
До сих пор мы говорили лишь о продвижениях, которые достигнуты советскими математиками в уже ранее поставленных проблемах теории рядов Фурье. Интересно отметить, что были выдвинуты и совершенно новые проблемы. Так, М е н ь ш о в [26] поставил вопрос о возможности получения для данной функции хорошего ряда Фурье путем ее малого изменения и получил следующий фундаментальный результат: любую измеримую функцию можно изменить на множестве как угодно малой меры так, чтобы получить непрерывную функция с рядом Фурье, равномерно сходящимся на всей бесконечной оси. Как известно, Л у-зин доказал знаменитое С-свойство измеримой функции: любую измеримую функцию можно изменить на множестве как угодно малой меры, так, чтобы получить непрерывною функцию. Мы видим, что результат Д. Е. Меньшова является существенным дополнением к теореме Л у з и н а, так как у произвольно заданной непрерывной функции ряд Фурье не только не должен равномерно сходиться, но он может, как известно, даже оказаться расходящимся на множестве мощности континуума. [19]
Следует отметить, что вопросы сходимости интерполяционных формул специально для аналитических функций советские математики изучади также и другими методами, непосредственно примыкающими к теории функций комплексной переменной. [20]
С середины 70 - х годов симметрийные методы в теории ветвления развиваются независимо западными и советскими математиками. Эти результаты об образовании структур в бифуркационных задачах были также получены в [20] и применены в [21] к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла. В 80 - х годах были опубликованы фундаментальные работы А. Они дают детальный обзор результатов западных математиков по эквивариантной теории ветвления. [21]
Ведущая роль в этих исследованиях со времен Чебышева и до наших дней принадлежит русским и советским математикам. Подобные же условия ослабления связи позволяют распространить на зависимые величины и центральную предельную теорему Ляпунова. [22]
Однако введенный Айзексом термин дифференциальная игра дошел до Советского Союза и стал употребляться советскими математиками. [23]
Учение о предельных теоремах теории вероятностей, основоположником которого был П. Л. Чебышев, в основном создано и продолжает развиваться русскими и советскими математиками. То, что это учение может составить собою аналитическую базу всех расчетных формул физической статистики, лишний раз показывает нам его прикладную ценность и позволяет еще более гордиться этим фундаментальным созданием отечественной науки. [24]
Перевод моей книги о симметриях и дифференциальных уравнениях на русский язык я рассматриваю как большую честь, тем более что в советской математике имеются давние традиции в этой важной области. Цитирования и исторические замечания, сделанные в тексте, с очевидностью показывают, что советские математики играли ключевую роль в развитии и приложениях теории групп к дифференциальным уравнениям. [25]
Вне поля зрения статей остались, как правило, приложения математики к вопросам естествознания и техники и, в частности, многочисленные работы прикладного характера, выполненные советскими математиками в годы войны. Естественно, что они должны рассматриваться в обзорах соответствующих отраслей естествознания и техники. В сборник включены некоторые материалы о научной работе по математике в тех советских республиках, которые сравнительно недавно вступили в Советский Союз. [26]
Созданная Кантором теория множеств сделала возможным более глубокий и общий анализ понятий непрерывности и геометрической фигуры и привела к возникновению теоретико-множественной топологии, в развитие которой большой вклад внесли советские математики Павел Самуилович Урысон ( 1898 - 1924), построивший общую теорию размерности и прочитавший в МГУ в 1921 / 22 учебном году первый в СССР курс топологии, и академик Павел Сергеевич Александров, начавший свои топологические исследования вместе с Урысон ом и ставший впоследствии главой советской топологической школы. Применяя топологические методы, советские математики Лазарь Аронович Люстерник и Лев Генрихович Шнирельман полностью решили в 1929 г. поставленную еще в 1908 г. А. Пуанкаре и долго не поддававшуюся решению задачу о трех геодезических, доказав существование трех замкнутых геодезических линий без кратных точек на всех поверхностях рода нуль. [27]
Заканчивая свой очерк достижений теории чисел в Советском Союзе, я хочу только отметить, что из-за размера статьи я привел далеко не все результаты, представляющие интерес и принадлежащие советским математикам. Но уже приведенных результатов, с моей точки зрения, достаточно для суждения о весьма крупной, а в некоторых направлениях и руководящей роли советских ученых в развитии теории чисел за последние тридцать лет. [28]
Трудности, состоящие на пути решения задачи оптимизации управления, привели к интенсивному изучению проблемы оптимальности рядом ученых в Советском Союзе и в США. Советские математики Л. С. Понтряпш и его ученики В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко создали теорию оптимального управления, в основе которой лежит сформулированный Л. С. Понтрягиным принцип максимума. [29]
В прошлом веке трудами П.Л. Чебышева зародилась родственная приближенным методам наука - теория приближений функций. Советская математика занимает в ней ведущее место. [30]