Cтраница 3
Ранние исследования Хасслера Уитни привели Тома к формулировке ряда гипотез о таких особенностях; они были затем доказаны самим Томом, Мальгранжем, Мезером и другими математиками. В результате, после данных Мезером обобщений, сформировался новый предмет, носящий теперь название теории особенностей; в основном те же идеи были независимо развиты В. И. Арнольдом, и благодаря перекрестному опылению возникло цветущее поле исследований. Таким образом, с математической стороны элементарная теория катастроф является одновременно частью и предшественником теории особенностей. [31]
Вычисления Ньютона представляют немалый интерес для характеристики его отношения к принципам математического анализа. В ранних работах 1665 - 1671 гг., в которых Ньютон закладывал основания нового исчисления флюксий и флюент, он обращался с бесконечно малыми так же, как многие другие математики этой эпохи и как это несколько позднее делали Лейбниц и его ученики. Бесконечно малые слагаемые просто отбрасывались в суммах, содержавших слагаемые конечные; высшими бесконечно малыми слагаемыми пренебрегали в сравнении с низшими. [32]
Эрмит писал, что она напомнила ему о вопросах, которые некогда его занимали, но затем его отвлекли от них другие предметы, и он увидел, что Золотарев, Дедекинд и другие математики значительно превзошли его. Я не могу передать, - писал Эрмит, - какое сожаление я испытываю, вспоминая Золотарева, которого видел в Париже, с которым подружился и талант которого внушал мне одновременно восхищение и глубокую симпатию. [33]
Такой человек не мог надеяться встретить себе подобного среди своих коллег, а чтобы найти такового в своей стране, должен был затратить массу усилий: он просто не рассчитывал установить научные контакты с другими математиками иначе, как через публикуемые работы. Фактически по этому предмету не было никаких лекционных курсов, ни для аспирантов, ни хотя бы для старшекурсников. Некоторым математикам казалось даже сомнительным, что теория графов вообще является достойным разделом математики. Сомнения, по-видимому, основывались на отсутствии в ней хорошо развитых методов, а также на недостаточной ее унифицированности и на том, что она казалась состоящей в основном из решений разрозненных задач, не связанных тесно ни друг с другом, ни с остальной математикой. [34]
Наивысшим достижением Гильберта в области интегральных уравнений, по-видимому, следует считать предложенное им обобщение теории спектрального разложения - переход от вполне непрерывных к так называемым ограниченным квадратичным формам. Гильберт обнаружил, что в общем случае точечный спектр обладает точками сгущения и кроме точечного спектра появляется непрерывный спектр, И в этом случае он получает результат прямым переходом к пределу, устремляя ad infinitum число переменных xi, х2, И снова другие математики вскоре находят более простые доказательства полученных им результатов. [35]
Обоснование символического или, как его стали теперь называть, операционного метода было дано лишь в двадцатых годах нашего столетия Бромвичем и Карсоном, связавшими этот метод с известным из теории функций комплексного переменного методом интегральных преобразований, которым с успехом пользовались Коши, Лаплас и другие математики. [36]
Если с точки зрения нового правила и нужно большое число испытаний, то не для увеличения точности опыта, а чтобы было на основании чего вычислять среднее квадратическое отклонение сг, так как не станешь ведь его вычислять на основании одной разности, а в итоге получается вывод, что напрасно трудились Бернулли, Пуассон и другие математики, изучавшие закон больших чисел, так как все равно исследователь не может воспользоваться теми преимуществами, которые, с их точки зрения, этот закон ему предоставляет. [37]
В истории математики таких львиных прыжков не так уж много. Их значение состоит в том, что после каждого из них проходят столетия напряженной работы. Другие математики систематизируют и извлекают следствия из теорий, созданных гениями. [38]
Риман и другие математики разработали принципиально иные типы неевклидовых геометрий. Сейчас в математике может быть построено бесконечное множество моделей пространства и времени. Вопрос же о реализации той или иной модели применительно к внешнему миру решается только практикой. [39]
Устойчивость - термин, широко применяемый в математике, естествознании, технике и обыденной жизни. Термин устойчивость встречается уже в работах Эйлера по продольному изгибу стержней, переведенных на русский язык. Лагранж, Пуассон и другие математики прошлого широко использовали термин устойчивость применительно к задачам о движении небесных тел. Однако большинство трактовок этого понятия связано с определением устойчивости по Ляпунову и его дальнейшими обобщениями. [40]
Таким образом, непрерывность функции - необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции. Впоследствии подобные примеры были найдены другими математиками. Построить такие функции нелегко, и их почти невозможно наглядно изобразить с помощью графика. [41]
У Кардано был молодой протеже, Лодовико Феррари, блестящий математик, какое-то время служивший секретарем у кардинала Мантуи. В возрасте 14 лет Феррари поселился у Кардано и скрашивал его старость, называя себя творением Кардано. Он защищал доказательства Кардано в нескольких диспутах с другими математиками, и многие авторитетные ученые считают, что ему принадлежали многие идеи, приписываемые его учителю. Но Феррари не смог утешить Кардано, тяжело переживавшего трагедию собственных сыновей. Темпераментный, щедро растрачивавший себя, Феррари потерял все пальцы на правой руке в трактирной ссоре и в 43 года был отравлен то ли сестрой, то ли ее любовником. [42]
Тихоновым методов устойчивого решения широкого класса некорректных задач считается одним из наиболее ярких достижений современной математики. Появилось новое направление, значительно расширившее возможности применения математических моделей в науке и технике. Конечно, идеи А.Н. Тихонова были развиты и его учениками, и другими математиками. По некорректным задачам проводятся симпозиумы, издаются специальные журналы, монографии. Над ними продолжают работать математики во всем мире. [43]
Удовлетворительное построение теории рядов и интегралов Фурье в 1920 году было еще новинкой и не успело просочиться в круги инженеров-электротехников. Исследование же процессов, наиболее интересующих этих инженеров, почти полностью лежало за пределами того, чем интересовались специалисты-математики. Обычная форма теории интегралов Фурье, построенная строгим образом Планшерелем и другими математиками, касается кривых, принимающих очень малое значение в удаленном прошлом и снова становящихся очень малыми в удаленном будущем. Иначе говоря, обычная теория интегралов Фурье имеет дело с процессами, которые в том или ином смысле имеют начало и конец, но не продолжаются неограниченно с примерно одинаковой интенсивностью. Длительные же процессы того типа, с которым мы встречаемся при рассмотрении непрерывного фона шумов или при изучении лучей света, почти полностью выпали w поля зрения профессионалов-математиков и интересовали лишь отдельных математически мыслящих физиков, вроде сэра Артура Шустера из Манчестера. [44]
Первые финансируемые государством научные учреждения - Королевская обсерватория в Париже и Королевская обсерватория в Гринвиче были созданы для содействия решению одной из важнейших проблем мореходства - определению долготы. С 1753 года Парижская Академия наук предлагает на премии целый ряд тем по теории корабля - сообщает академик А. В конкурсах принимают участие Эйлер, братья Бернулли, Бугер, аббат Боссю и другие математики того времени. [45]