Cтраница 4
Но что означают слова бесконечно много. С 1874 г., когда Кантор [3] начал различать бесконечные множества по их мощности, казалось бы естественным поставить такой вопрос: если точка сгущения есть точка, в любой окрестности которой содержится бесконечное множество точек рассматриваемого множества, то какова мощность множеств, фигурирующих в словах содержится бесконечно много. Этот вопрос, однако, не ставился ни самим Кантором, ни, кажется, другими математиками до 1885 г.: их удовлетворяло неопределенное бесконечно много. Но с работы Кантора [10] он был поставлен. Действительно, он начал отличать точки, в окрестностях которых содержатся лишь счетные множества точек рассматриваемого множества Р, от точек, в окрестностях которых содержатся несчетные множества точек из Р, последние получили затем специальное наименование точки конденсации. Кантор особо не вводил понятия точки конденсации, а тем более у него не было специального термина для этого понятия. Он, как говорилось, допускал в [10], что контит нуум имеет мощность более чем вторая и хотел расщепить это понятие далее. [46]
Основания математики явились первой, но далеко не последней жертвой удара. Выражение и родственные системы в заглавии Геделевой статьи говорит о многом. Если бы результат, полученный Геделем, указывал бы только на дефект в работе Рассела и Уайтхеда, другие математики могли бы попытаться исправить ошибки в Основаниях математики и перехитрить теорему Геделя. Однако это оказалось невозможным: теорема Неделя была приложима ко всем аксиоматическим системам, ставившим своей целью то же, что и система Рассела и Уайтхеда. [47]
Адамар восторгается грандиозным обобщением теории эллиптических функций, предпринятым Пуанкаре. А ведь фуксовы функции явились в результате обобщения модулярной функции, которой пользовался Эрмит, а вслед за ним и другие математики. [48]
Эта работа весьма примечательна. Пуанкаре был убежден в справедливости теоремы о кольце, он доказал ее для ряда частных случаев, но общего доказательства не получил, предоставив это сделать другим математикам. [49]
Разумеется, можно воспользоваться формулами с ф и составить достаточно большую таблицу надежных пар, но сделать это без калькулятора довольно трудно. Не существует ли более простого способа, сравнимого с методом нахождения оптимальной стратегии игры в ним с помощью двоичной записи числа фишек в кучках. Оказывается, что такой способ действительно существует, но основан на использовании более экзотической, так называемой фибо-наччиевой, системе счисления, которую интенсивно изучали Силбер, его коллега Ральф Геллар и другие математики, например Леонард Карлитц из Университета Дьюка. [50]