Cтраница 1
Греческие математики никогда не достигали ( или, быть может, никогда не пытались достигнуть) такой степени абстракции. [1]
Греческие математики очень любили поиграть с числами, эти игры занимают умы математиков и по сей день. [2]
В греческой математике впервые был последовательно проведен принцип логически связного доказательства всех предложений путем сведения их к возможно меньшему числу уже не подлежащих доказательству аксиом. Эта аксиоматическая форма изложения, являвшаяся в то же время пробным камнем для законченности исследования, была в новое время принята за образец и в других отраслях науки. [3]
Так и греческая математика была пересажена в новую среду. [4]
Разумеется, греческая математика была иной и, судя по тому немногому, что нам известно, она с самого начала должна была быть иной. Фалесе, вытекает влияние вавилонской астрономии, а вавилонская математика говорит о многом, что мы традиционно связываем с Пифагором и его учениками. Кто не знает так называемой теоремы Пифагора. Но, может быть, Пифагор первым доказал ее. Нет, и это не так, ибо теорему, которая отнюдь не очевидна, можно открыть только путем доказательства; ее нельзя открыть, попросту измеряя стороны треугольника. И все же мы то и дело читаем, что впервые открыли ее - греки. [5]
В этом греческие математики сознательно отмежевывались от логистов или профессиональных вычислителей, которые, так же как их предшественники египтяне и вавилоняне, не задумываясь рассматривали дроби или суммы целого и дроби как числа. [6]
Об эпохе формирования греческой математики приходится судить, основываясь лишь на небольших фрагментах, приводимых в более поздних произведениях, п на отдельных замечаниях философов п других не строго математических авторов. Очень много остроумия и труда было вложено в критику текстов, благодаря чему удалось разъяснить немало темных мест в этом раннем периоде. Frank) и др., позволяет нам дать в известной мере связную, хотя в значительной части предположительную картину греческой математики в эпоху ее формирования. [7]
Первой советской публикацией по истории греческой математики явилась упоминавшаяся аспирантская диссертация М. Я. Выгодского о Платоне ( 1926); данная здесь оценка Платона как математика не встретила позднее поддержки у советских историков науки, более дифференцированно рассмотревших этот вопрос. В большой статье о Началах Евклида ( 1948) Выгодский поддержал новыми аргументами распространенное мнение, что на этот классический труд наложили печать платоновские установки Евклида. С этой точкой зрения не согласились В. Н. Молодший и Л. Е. Майстров ( 1949) и позднее И. Г. Башмакова ( 1958), сопоставившие систему оснований Начал с аристотелевской концепцией дедуктивной науки. Абстрактный характер изложения Начал при этом объясняется не идеалистическими установками их автора, а математическими целями, им поставленными, а также кругом читателей, который имел в виду Евклид. [8]
Здесь упомянуты далеко не все работы по греческой математике. [9]
Здесь упомянуты далеко не все работы по греческой математике. [10]
Сказанного достаточно для сравнения Начал со всей областью греческой математики. Теперь, чтобы закончить наш ход мыслей, я хочу еще показать на двух-трех примерах, как далеко шагнула современная математика по сравнению с древнегреческой. Одно из важнейших отличий заключается в том, что греки не имели еще самостоятельных арифметики и анализа, не знали ни десятичных дробей, облегчающих сложные числовые выкладки, ни общего буквенного исчисления; и то, и другое являются, как я показал более подробно в минувшем зимнем семестре, изобретением пришедшего впоследствии нового времени, эпохи Возрождения. Заменой ( суррогатом) этого для греков могли служить только исчисление в геометрической форме, в котором вместо чисел оперируют построениями с отрезками или с другими геометрическими величинами, что оказывается, конечно, несравненно более громоздким, чем наши арифметические действия. В связи с этим находится и то, что греки не владели также тем, чем, собственно, впервые обусловливается практичность нашей арифметики и анализа - отрицательными и мнимыми числами. Вследствие этого грекам недоставало той общности метода, которая позволяет охватить одной формулой все случаи, какие только возможны, и крайне длительные различения отдельных случаев у них играли огромную роль. [11]
В то время как теоретико-числовые исследования в Европе возникли на базе греческой математики, в первую очередь трудов Евклида и Диофанта, совершенно иначе обстоит дело с техникой вычислений. Европе связано с распространением индийской десятичной позиционной системы и арабских цифр. [12]
Кинематико-геометрическое моделирование движения небесных тел тесно связано с общими успехами кинематического метода в греческой математике. Античные математики часто обращались к кинематическому методу при решении многих задач, связанных с построением и исследованием кривых. [13]
Вообще же можно сказать, что все иррациональные числа, о которых имели представление греческие математики, сводятся к таким - иррациональ-ностям, которые можно получить повторным извлечением квадратного корня и которые в силу этого можно строить циркулем и линейкой. [14]
К сообщенным нами историческим сведениям необходимо добавить несколько слов о самом известном из памятников греческой математики - сочинении Евклида Элементы. Деление утверждений на аксиомы ( сфсо ата), постулаты ( airr ] Li -, определения ( opoi), теоремы ( Secoprj jmTcx), задачи рЛт ] jiata) и вспомогательные теоремы ( гцциата), впервые введенные Евклидом, сохранились и поныне в работах математического содержания. [15]