Cтраница 2
Она позволила, таким образом, делать со всей строгостью то, что не задумываясь делали первые греческие математики, когда они считали какую-либо теорему о пропорциях доказанной, как только она доказана для всех рациональных отношений. По-видимому, до Евдокса делались попытки построить теорию, которая бы достигла той же цели путем определения отношения А / А двух величин тем, что мы называем па современном языке членами цепной дроби, выражающей это отношение; по поводу этих попыток, к которым естественно приводил названный евклидовым алгорифм для отыскания общей меры А и А, если она существует ( или для нахождения наибольшего общего делителя), см. отмеченные выше статьи Бекера ( сноска) па стр. [16]
Настолько менее удобной, что для того, чтобы перевести на свой язык алгебраическую науку вавилонян, греческим математикам пришлось систематически пользоваться средством совсем другого порядка, а именно соответствием между двумя длинами и площадью прямоугольника, построенного на этих двух длинах как на сторонах, что, собственно, не является законом композиции и но дает возможности удобно записывать алгебраические соотношения степени выше второй. [17]
Таковы причины, побудившие меня изложить это построение действительных чисел, опирающееся на позиционную систему счисления, далекую Греческой математике. Мне кажется, что мы при этом выполнили программу, намеченную Лебегом и частично развитую Валле-Пуссеном. [18]
Эта геометризированная алгебра, оторванная от жизни, беспо-лезное достижение фанатиков метода и точности, стала одной-из причин вырождения греческой математики. Разумеется, до тех пор, пока наряду с официальной евклидово-архимедовой математикой преподавались также эвристические методы алгебры и бесконечно малых, молодые люди могли осваиваться со смирительной рубашкой официальной науки. Но как только эти традиции были сломлены, все погибло. До III века вавилонские традиции были живы, и в Диофанте мы видим истинного алгебраиста. [19]
Этот вопрос - найти площадь таких луночек, у которых площадь рационально выражается через диаметр - имеет прямое отношение к центральной проблеме греческой математики - квадратуре круга. Были заложены основы аксиоматики, на что указывает название прпппсываемой Гиппократу книги Начала ( Stoicheia), название всех греческих аксиоматических трактатов, включая трактат Евклида. [20]
Проблемы древнегреческой практической арифметики - логистики - были рассмотрены в упомянутой ранее книге М. Я. Выгодского 1941 г. Выгодский отверг нередко встречающееся представление о греческой математике как науке преимущественно геометрической в силу якобы геометрического же по преимуществу мышления греков; он в подробностях изучил приемы арифметических вычислений греков, предложив при этом новую реконструкцию архимедова способа извлечения квадратных корней. Развитию логистики в Греции и Византии, а также в тесно связанной с последней Армении был посвящен ряд работ Г. Б. Петросяна ( 1946, 1956), А. М. Еганяна ( Греческая логистика. Ереван, 1972) и других ученых. [21]
Его главная работа Начала ( в латинизированной форме - Элементы) содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из др. сочинений по математике надо отметить О делении фигур, сохранившееся в арабском переводе, 4 кн. Конические сечения, материал к-рых вошел в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также Поризмы, представление о к-рых можно получить из Математического собрания Паппа Александрийского. [22]
Греческая математика отличала арифметику или науку о числах от логистики, то есть от практических вычислений. [23]
Греческая математика характеризуется тем, что мы ныне называем дедуктивной системой. Вероятно, это и в самом деле началось с Фалеса. Традиция утверждает, что Фалес доказал некоторое количество геометрических теорем; при тщательном рассмотрении оказывается, что они не того рода, к которому относится, скажем, теорема Пифагора, а примерно следующего: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; иначе говоря, это теоремы, справедливость которых можно усмотреть с первого взгляда. То, что такие теоремы все же доказывают, свидетельствует, что открыта некая новая игра, доказательство ради самого доказательства. То, что такие теоремы можно доказывать, свидетельствует, что построена система, в которой эти доказательства являются осмысленной деятельностью. Если такое и существовало у вавилонян, то во всяком случае бесследно исчезло. [24]
Трагедия рациональных чисел состоит в том, что их недостаточно много. Уже греческие математики знали, что рациональных чисел недостаточно для обозначения всех отрезков. Так, диагональ квадрата со стороной, равной единице, согласно теореме Пифагора обладает следующим свойством: квадрат ее длины равен двум. [25]
Согласно преданию отцом греческой математики является милетский купец Фалес, в первой половине шестого века посетивший Вавилон п Египет. Но если он даже целиком легендарная фигура, то за нею стоит нечто вполне реальное. Это - образ, соответствующий тем условиям, в которых закладывались основы пе только современной математики, но п всей современной пауки ц философии. Первоначально греки занимались математикой, пмея одну основную цель - понять, какое место занимает во вселенной человек в рамках некоторой рациональной схемы. [26]
Таким образом, блестящие достижения греческой математики зависели от сочетания логики со зрительным воображением, без предпочтения той или другой составляющей. [27]
Самые ранние такие таблицы, составленные греческими математиками еще в III-II вв. [28]
В период Возрождения работы многих греческих авторов были открыты заново, отредактированы и опубликованы. Это не относится, однако, к греческим математикам. [29]
Подобная прагматическая точка зрения появляется поэтому во всех математических школах, в которых искусство вычислителя берет верх над заботой о строгости и теоретическими соображениями. Наоборот, именно последние являются доминирующими в греческой математике. Эта теория является завершением ряда относящихся к пропорциям и, в частности, к несоизмеримым отношениям открытий, значение которых в истории греческой мысли трудно переоценить, хотя из-за отсутствия точных текстов можно с трудом наметить лишь самые общие их черты. [30]