Cтраница 3
Линии второго порядка играют большую роль в архитектуре, астрономии, механике и других разделах науки и техники. С ними были знакомы уже в древней Греции, но греческие математики еще не знали ни метода координат, ни уравнений. [31]
Различие между этими двумя системами касается проблемы априорности. Та идея, что естествознание может быть логическим путем сведено к небольшому числу постулатов или аксиом, принадлежит великим греческим математикам, которые первые стремились сформулировать аксиомы геометрии и вывести из них законченную систему теорем. С тех пор вопрос о том, каковы основания для принятия именно этих аксиом и никаких других, непрерывно возбуждал интерес математиков и философов. Труд Канта можно рассматривать как своего рода гигантское обобщение этого вопроса; он попытался сформулировать постулаты ( которые он называл априорными категориями), необходимые для развития познания вообще, и он обсуждал вопрос о том, в чем лежит их основание. [32]
Здесь можно рассказать о том, что кривые второго порядка были знакомы еще древним грекам, но так как греческие математики не знали метода координат и уравнений, то для рассмотрения кривых второго порядка они пользовались сечением конической поверхности плоскостью. С тех пор окружность, эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями. Линии второго порядка играют большую роль в архитектуре, строительстве, астрономии, механике и других областях науки и техники. Одной из кривых второго порядка является окружность, с которой учащиеся знакомы со школы. На данном занятии предстоит более подробно изучить эту кривую, разобраться в особенностях ее уравнения в зависимости от расположения на плоскости. [33]
В его Арифметике, написанной около 250 г., он подробно рассматривает решение неопределенных уравнений с целыми коэффициентами; подробности см. в § 5.6. После Диофанта греческая математика отошла от теории чисел, и хотя среди арабов, индийцев и в Европе в период Возрождения было много хороших математиков, никто из них не занимался непосредственно теорией чисел. [34]
Греческая философия не может быть понята без эстетики - теории красоты и гармонии. Греческая математика, физика, астрономия - скульптурны и осязательны. Пластично все греческое искусство - архитектура, скульптура, поэзия, драма. Представленная на сцене трагедия походила на ряд оживленных рельефов, маска актера служила символом изображаемого им характера. [35]
Греческая математика резко разграничивала понятия числа и величины. Греческие математики называли числами только те числа, к-рые теперь наз. Специальные греческие сочинения по логистике до нас не дошли: все же известно, что греки применяли способ умножения, близкий к современному. Алфавитная система нумерации сильно усложняла операции над числами. [36]
Нужно уяснить себе, что достаточность не такая уж простая идея. В геометрии некоторые греческие математики были близки к этому. В алгебре это было осознано лишь в самое последнее время. [37]
В физике Аристотеля получило свое обоснование характерное для греков представление о космосе как об очень большом, но конечном теле. Актуально бесконечное не признавала также и греческая математика. [38]
Но меньшей мере три больших математика этого периода были связаны с Академией Платона, а именно Архнт, Теэтет ( ум. Имя Евдокса связано с теорией отношений, которую Евклид дает в своей пятой книге, а также с так называемым методом исчерпывания, который позволил строго проводить вычисление площадей и объемов. Это означает, что именно Евдокс преодолел кризис в греческой математике и что его строгие формулировки помогли определить направление развития греческой аксиоматики и, в значительной мере, всей греческой математики. [39]
Средневековую науку в этом смысле можно уподобить афатику, который вновь обращается к счету по пальцам, утратив более современные способы счета В средние века для исчисления новолуний ( в связи с которым, по мнению некоторых исследователей, возник развитый счет уже в палеолите) в Европе снова стал использоваться счет по пальцам [ 71, с. Но это не противоречит наличию до этого вели - КИА достижений греческой математики, как и еще более древних открытий. [40]
Именно в этом смысле понятие частицы употребляется в квантовой механике. Возражения Шредингера кажутся мне препятствием такого же рода, как те, которые помешали греческим математикам считать числом диагональ квадрата со стороной, равной единице, после того как они убедились, что эта диагональ не может быть представлена как частное двух целых чисел. [41]
Такое назначение Начал делает понятным, почему главное значение придавалось выработке логических связей и установлению замкнутой в себе системы геометрии, тогда как все практические применения целиком отодвигались в сторону. Мы скорее всего получим правильное представление об ограниченности материала евклидовых Начал по сравнению с объемом греческой математики вообще, если для сравнения дадим общую характеристику личности и всех достижений величайшего греческого математика Архимеда, который жил вскоре после Евклида, около 250 г. до нашей эры, в городе Сиракузы; я выделю только несколько особенно интересных пунктов различия. [42]
Об эпохе формирования греческой математики приходится судить, основываясь лишь на небольших фрагментах, приводимых в более поздних произведениях, п на отдельных замечаниях философов п других не строго математических авторов. Очень много остроумия и труда было вложено в критику текстов, благодаря чему удалось разъяснить немало темных мест в этом раннем периоде. Frank) и др., позволяет нам дать в известной мере связную, хотя в значительной части предположительную картину греческой математики в эпоху ее формирования. [43]
В целом она оставалась оплотом язычества против распространявшегося христианства, и некоторые из ее математиков отмечены и в истории античной философии. Прокл ( 410 - 485), чей Комментарий к Первой, книге Евклида-один из наших главных источников по истории греческой математики, возглавлял школу неоплатоников в Афинах. [44]
При всем восхищении, вызываемом построением Евдокса, не оставляющим желать ничего лучшего в отношении строгости и стройности, следует признать, что ему недоставало гибкости и оно было мало подходящим для развития вычислительной техники и особенно алгебраического исчисления. Кроме того, оно могло казаться логически необходимым только умам, влюбленным в строгость и искушенным в абстракции; естественно поэтому, что на закате греческой математики мы видим постепенное возрождение наивной тонки зрения, сохранявшейся в традиции логистов. Хотя это изменение отношения к понятию числа связано с одним из самых важных достижений в истории математики, а именно развитием алгебры, само по себе оно, конечно, представляло не прогресс, а скорее шаг назад. [45]