Cтраница 1
Современная математика базируется на теории множеств. При теоретико-множественном подходе основным элементом геометрии считается точка. Что касается прямых, плоскостей, других геометрических фигур, то они являются множествами точек. [1]
Современная математика характерна тем, что математические объекты рассматриваются одновременно с их отображениями друг в друга, согласованными с кх структурой. Отображения между категориями, согласованные с категорией структурой, называются функторами. [2]
Современная математика располагает обширным арсеналом методов и приемов, позволяющих успешно определять оптимальное решение для разнообразных задач, возникающих в процессе создания математической модели системы. [3]
Современная математика, именно благодаря общности методов и установлению глубоких связей между ее разделами, которые ранее рассматривались независимо и отдельно, наверное, раньше других наук подготовлена к интегративному пониманию мира и, тем самым, к междисциплинарным исследованиям. В настоящее время такие исследования в наибольшей степени востребованы обществом и поэтому целостное математического образования приобрело такое универсальное значение. Быть может, новый синтез наук начинается именно с математики и поэтому, с одной стороны, общее математическое образование приобретает такое значение. [4]
Современная математика и ее преподавание [141] рассматривает вопрос о целях обучения, связывая его с математизацией науки, происходящей в наше время. Поскольку научить рецептам решения всех задач, встречающихся специалисту в его работе, невозможно, то важно выработать хорошую культуру мышления, умение творчески подходить к решению возникающих задач. [5]
Современная математика решила все три задачи, причем отрицательно. [6]
Современная математика для систем управления, оптимальных в смысле максимального использования доступной информации, иногда позволяет достаточно компактно записать алгоритмы управления в виде матриц и интегралов. Но компактная запись, к сожалению, не всегда дает возможность проводить вычисления для не тривиально простых систем. [7]
Современная математика занимается не столько объектами исследования, сколько структурой отношений между этими объектами. Так, почти вся традиционная геометрия, будучи определенной, как теория операций, предстает в виде алгебры; чертежи становятся бесполезными или даже опасными для изложения доказательств, хотя читателю, конечно, представляется свобода использования набросков в помощь интуиции. [8]
Современная математика располагает многими оптимизационными методами. Однако эффективность применения того или иного метода зависит от особенностей решаемой задачи. [9]
Современную математику характеризует стирание граней между ее классическими областями. Почему же объявленный отмершим метод геометрической наглядности оказывается столь жизнеспособным даже в областях, не имеющих, казалось бы, ничего общего с геометрией. Я полагаю потому, что геометрическая наглядность может указать нам путь к тому, что важно, интересно и доступно, потому что эта наглядность может предостеречь нас от заблуждений среди множества проблем, идей, методов. Перефразируя Канта, можно сказать: наглядность без понятий пуста, понятия без наглядности слепы. [10]
Немногие современные математики строго исповедуют чистый интуиционизм, даже если бы единственной причиной этого была бы его ограниченность относительно типов математических рассуждений, которые он позволяет использовать. [11]
Однако современная математика не дала еще решений таких диференциальных уравнений в общей форме и поэтому возможны лишь отдельные частные решения их. [12]
Серия Современная математика для студентов выпускается под общим руководством Правления Московского математического общества. [13]
Как современные математики, знающие о существовании всех этих сумасшедших кривых, определяют, что такое кривая. Монстры вышли на сцену настолько плотной толпой, что ни одно из определений не охватывает всех объектов, которые обычно называют кривыми. Тополог определяет кривую как множество точек, которое компактно, связно и образует одномерный континуум. Но для того чтобы это определение стало до конца ясно читателям, понадобился бы довольно длинный экскурс в теоретико-множественную топологию. Определение тополога охватывает хорошие кривые-графики дифференцируемых функций, но не распространяется на все рассмотренные нами недифференцируемые монстры. Разумеется, мы не располагаем физическими примерами кривых типа извивающихся змей-писал Филип Моррисон. Природа не знает бесконечностей, даже в молекулярных столкновениях. На уровне нескольких ангстремов происходит обрезание. Тем не менее сюрпризов хватает. Под сюрпризами Моррисон имеет в виду те встречающиеся в природе случайные структуры, которые при последовательных увеличениях обнаруживают свойство статистического самоподобия. [14]
Опыт современной математики и анализ ее оснований показывают, что множества служат тем основным элементарным материалом, из которого строятся все основные математические объекты. Отсюда вытекает универсальность идеи множества и языка теории множеств для математики. Более того, мощь и универсальность идеи множества, ее ключевая роль в отражении двух важнейших сторон, функций мышления - созидательной и аналитической - столь велика и несомненна, что есть все основания считать идею множества одной из самых основных и самых первоначальных форм мышления. [15]