Cтраница 3
В современной математике число я - это не только отношение длин окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и определяется чисто аналитически. [31]
В современной математике вместо архаичного термина высшая комплексная система ( или гиперкомплексная система) принят другой термин: конечномерная алгебра над полем действительных чисел. Если уравнения ха Ь, ау Ь разрешимы в рассматриваемой алгебре для любых а ф 0 в Ь, то она называется алгеброй с делением. Фробениуса ( доказанная им в 1877 г.) утверждает, что существуют только две конечномерные алгебры над полем действительных чисел, в которых умножение коммутативно, ассоциативно и нет делителей нуля, - это само поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Далее, вторая часть теоремы Фробениуса утверждает, что если отказаться от коммутативности, но все же предполагать умножение ассоциативным, то существует еще одна единственная конечномерная алгебра над полем действительных чисел - это кватернионы, к описанию которых переходит Клейн. Наконец, отказ от ассоциативности дает еще одну алгебру с восемью единицами ( одна действительная и семь мнимых), которая была открыта английским математиком Кэли. Алгебра Кэли является альтернативной, т.е. подалгебра, порожденная любыми двумя ее элементами, является ассоциативной. В настоящее время известно, что, кроме указанных четырех алгебр, других альтернативных алгебр над полем действительных чисел не существует. [32]
Второе направление современной математики, основанное на теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, опирается на применении функции Грина. Ее использование позволяет установить связь краевых задач с интегральными уравнениями. [33]
Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов, вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов. Обычно объекты и их отображения образует категорию. Именно поэтому теоретико-категорный язык с момента своего появления стал модным средством выражения результатов математических - исследований, тем более, что само рождение теории категорий связано с бурным развитием идей и методов гомологической алгебры. [34]
Развитие аппарата современной математики вызывается практическими соображениями, связанными с распространением математических моделей и методов в самых различных сферах науки. Объекты, к которым сейчас применяются математические идеи, намного сложнее привычных объектов, традиционно изучавшихся математическими методами. Большая сложность новых объектов делает невозможным и нереальным решение задачи полной формализации протекающих в них процессов. Даже вероятностные модели оказываются слишком точными для подобных объектов и не могут быть построены из-за отсутствия нео бходимой статистической информации. Центральным звеном управления в этих новых объектах, как правило, является человек, характеризующийся всей гаммой потребностей, мотивов и целей, недоступных для полного анализа даже ему самому. Принятие решений в этих условиях происходит в многообъектной, многофункциональной системе, содержащей неопределенности, неизбежно связанные с человеком, его психикой, поведением. Но опыт кибернетики свидетельствует о том, что достигнуть этого довольно трудно. [35]
Разыскивать истоки современной математики в классических сочинениях обычно нелегко, особенно вследствие изменившейся терминологии, пршшмаемой за новую науку. Например -, практически никто не замечает, что так называемая теория пуассоновых многообразий была разработана уже Якоби. [36]
Большая часть современной математики ( да и бблыпая часть всей применяемой физиками математики) - перепевы или развитие замечательных геометрических идей Абеля, Римана, Пуанкаре, пронизывающих всю современную математику как еданое целое; где, по словам Якобй, одна и та же функция решает и вопрос о представлении чисел суммой квадратов, и вопрос о законе больших колебаний маятника, решая также и вопрос о длине эллипса, каковой эллипс описывает и движение планет, и кувыркание спутников, и конические сечения. [37]
Понятие в современной математике, уточняющее широко распространенное понятие аналогии, модели. [38]
Алгоритмами в современной математике принято называть конструктивно задаваемые соответствия между словами в абстрактных алфавитах. [39]
Принятое в современной математике формально-мате-матич. Пространство определяется как множество к. [40]
Алгоритмами в современной математике принято называть конструктивно задаваемые соответствия между словами в абстрактных алфавитах. [41]
Понятие в современной математике, уточняющее широко распространенное понятие аналогии, модели. [42]
Методы Монте-Карло / Современная математика для инженеров. [43]
К счастью, современная математика предлагает нам довольно много способов направленного перебора. Все эти способы позволяют резко сократить множество значений неизвестных величин, среди которых производится выбор в процессе решения уравнения. Одним из старейших и в то же время наиболее мощных методов направленного перебора является так называемый метод последовательных приближений. [44]
Во многих разделах современной математики используется метод доказательства, который называется методом математической индукции. [45]