Cтраница 3
Поэтому в конце 1970 - х и начале 1980 - х гг., в эпоху, когда был приступ энтузиазма относительно возможности практических приложений интуиционистской логики и конструктивной математики, он не изменил себе и не пытался строить системы, слишком прямо и примитивно пытающиеся решить сложнейшие практические проблемы. [31]
Процесс развития базисных разделов конструктивной математики и процесс переосмысливания на конструктивной основе классической математики Стимулируют и обогащают друг друга, и именно сочетание этих двух процессов формирует облик конструктивной математики а целом. [32]
Можно полагать, что в будущем алгоритмический подход в науке, распространение идей и средств теории алгоритмов ( в частности, в их прикладном виде) в самых разных отраслях и на этой основе укрепление и развитие идей конструктивной математики и логики несколько потеснят господствующие ныне методы классической математики. [33]
Подобные соображения ведут к интуиционистской и конструктивной математике, концепциям, которые Вейль считал основополагающими в основаниях математики. [34]
Такие алгорифмы в свою очередь могут естественно рассматриваться как некоторые конструктивные объекты, и, таким образом, сами конструктивные процессы также входят в конструктивную математику в качестве объектов исследования. Впрочем, на начальной стадии изучения конструктивной математики такое, уточненное в духе тезиса Черча, понимание конструктивных процессов не является необходимым. [35]
Марков Андрей Андреевич ( мл. Труды: по топологии, топологической алгебре, теории алгоритмов, конструктивной математике, теории динамический систем, математической логике и основаниям математики; участник Первой топологической конференции 1935 г. в Москве. [36]
Переосмысливание на основе принципов конструктивной математики уже сформировавшихся разделов классической математики составляет лишь одно из направлений развития конструктивной математики. Интенсивно развиваются и математические теории, формирующиеся под воздействием проблем, специфичных именно для конструктивной математики. [37]
Главное же состоит в том, что контроверза классической и неклассических математик явственно показала неабсолютность понятий дискретности и непрерывности, которая проявляется прежде всего в том, что в разных математиках различны понятия континуума. При этом, с одной стороны, классический континуум может быть отображен ( промоделирован) в конструктивной математике, и конструктивный аналог классической непрерывности ( заметим, что таких аналогов может быть много) оказывается счетным. С другой стороны, возможно погружение конструктивного континуума в классический, и образ его в классическом континууме оказывается всюду плотным. [38]
Игюй характер имеет выдающийся вклад Брауэра и Вейля в формирование предпосылок конструктивного направления в математике. Многие их логические и математические идеи сыграли существенную роль при формировании более широких, но в то же время и менее отчетливых ( в логическом аспекте), чем у Сколема и Гуд-стейна, теорий конструктивной математики. Идеи Брауэра, Вейля, Сколема и Гудстейна плодотворно дополняют друг друга. [39]
Важно подчеркнуть, что такие преимущества перед соответствующей теорией классической математики достигаются в результате перехода к рассмотрению лишь конструктивно определяемых объектов и одновременного отказа от использования представлений об актуально бесконечных множествах - эти методологические принципы, вводя математическое мышление в русло более госязаемых, чем в классической математике, понятий и уменьшая произвол человеческого воображения, приводят к таким усовершенствованиям математических теорий, которые могут облегчить применение математики к задачам прикладного характера. Однако упомянутые выше серьезные дополнительные требования, предъявляемые к теориям конструктивном математики, в значительном числе случаев приводят к существенным, иногда радикальным расхождениям даже во внешнем облике теоретических моделей, предлагаемых для одной и той же ситуации конструктивной математикой и классической математикой. [40]
Последующая история брауэровско-вейлевских идей, как они были представлены в нашей стране, хорошо известна: это и работы по формализации интуиционистской логики ( В.И. Гливенко), по разработке ее семантики и исследованию ее отношения к логике классической ( А.Н. Колмогоров); т го и снятие интуиционизма в отечественной школе конструктивной математики ( А.А. Марков, Н.А. Шанин и их ученики), и многое другое - всего не назвать. [41]
Так, например, при определении непрерывной функции как такей функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги или мела от доски ( это дает определенную информацию о рассматриваемом объекте), тот факт, что всякая непрерывная функция, принимающая значения разного знака на концах отрезка, в некоторой его точке обращается в нуль, по-видимому, не следует доказывать считая, что он непосредственно наглядным образом вытекает из определения. При классическом же определении непрерывной функции тот же факт следует доказать на общепринятом уровне строгости. Этот неожиданный результат объясняется тем, что, образно говоря, в конструктивной математике другие правила игры, чем в классической. К сожалению, и это, по-видимому, неизбежно, даже внутри одного математического курса отдельные его части приходится излагать на разном уровне строгости. [42]
Впервые опубликовано в: Исследования по конструктивной математике и математической логике II. Основные результаты настоящей заметки были доложены в марте 1965 г. на семинаре по конструктивной математике в МГУ и 21 декабря 1967 г. на семинаре по конструктивной математике в ЛОМИ. [43]
Интерес к сложности вычислений можно обнаружить во многих областях математики, в которых алгоритмы определяются, анализируются и сравниваются по их эффективности. С другой стороны, вряд ли в этих областях математики предпринимались систематические попытки развить теорию сложности вычислений, в которой изучались бы количественные проблемы, связанные с вычислениями. Проблемы сложности первоначально не были достаточно хорошо определены, и даже в период быстрого развития конструктивной математики в первой половине нашего века на них не смотрели как на самостоятельную область. В то время были определены некоторые классификации подклассов рекурсивных функций, но главный интерес был скорее в единообразном построении все более и более широких подклассов рекурсивных функций, чем в изучении внутренней вычислительной сложности функций. [44]
Впервые опубликовано в: Исследования по конструктивной математике и математической логике II. Основные результаты настоящей заметки были доложены в марте 1965 г. на семинаре по конструктивной математике в МГУ и 21 декабря 1967 г. на семинаре по конструктивной математике в ЛОМИ. [45]