Cтраница 4
Наконец, язык Ям 1 содержит все формулы формальной арифметики. С помощью алгоритма выявления конструктивной задачи по Шанину [4] всякая замкнутая формула ф языка Яо i может быть приведена к виду Зж яр ( х), где i ( х) - формула языка Ящ. Формула Ф считается верной, если осуществимо натуральное число п такое, что ф ( п) верна в Ям. Такое понимание суждений арифметики хорошо согласовано со всеми основными принципами конструктивной математики. [46]
Он серьезнейшим образом воспринял концепцию Брауэра, поддержанную Марковым, что математика по сути своей есть гуманитарная наука, и рассматривал ее как одну из отраслей мировой культуры. Сам он стеснялся публиковать философские работы ( многие математики страдают этой ложной скромностью), но его философские рассуждения на близкие к современной логике темы всегда были исключительно глубокими. В частности, именно он одним из первых в России заметил, что программа Гильберта обоснования математики вовсе не завершилась провалом. Теорема Геделя о недоказуемости непротиворечивости показала лишь неточность формулировки средств, а сама цель программы Гильберта была практически достигнута в результате метаматематических исследований по интуиционистской и конструктивной математике. Таким образом, А. Г. Драгалин еще раз подтвердил глубину воззрений Гильберта, поддержанных, кстати, его якобы непримиримым ( если судить по писаниям вульгаризаторов истории науки) оппонентом Брауэром: хотя порою в принципе идеальные понятия могут быть устранены, редукционизм и ползучий 4 эмпиризм приводят к полной умственной прострации, просто невероятно увеличивая объем выкладок. Ни до чего нетривиального мы не можем добраться без использования идеальных понятий, и чем более сильного практического результата мы желаем добиться, тем более высокую теорию надо задействовать. Другое дело, что с этой высоты надо еще суметь спуститься на грешную землю, поскольку даже операция выяснения, не является ли одно из понятий высокого уровня примером другого, уже неразрешима алгоритмически. [47]
Этот тезис, однако, не может быть предметом доказательства: ведь алгоритм в обычном смысле - это не точное математическое понятие, о котором можно рассуждать формально, по строгим правилам. Источником обоснования такого рода содержательных тезисов служит практика: она показывает, что все известные алгоритмы могут быть представлены в виде машины Тьюринга или нормального алгорифма Маркова ( или машины Поста и др.); найти же противоречащий пример никто не смог. Математическая практика, таким образом, подтверждает эти тезисы. Их подтверждает и то обстоятельство, что - в этом случае уже с полной математической строгостью - удается доказать эквивалентность друг другу всех точных определений понятия алгоритм, в том числе эквивалентность машины Тьюринга и нормального алгорифма Маркова. И, наконец, еще одно, самое важное соображение: построенные с помощью определения нормального алгорифма или машины Тьюринга ( и связанных с ними тезисов) математические и логические теории решают ряд трудных задач самих математики и логики ( в том числе, подчеркивает С. А. Яновская, и конструктивной математики) ( С. А. Яновская, 1966, стр. [48]
Особенно важной из неклассических логик является, несомненно, интуиционистская логика. Прежде всего, само введение этой логики имеет глубокое и интересное философское обоснование, связанное с интуиционистской критикой классической математики, выдвинутой Брауэром. Кроме того, интуиционистская логика - пожалуй, единственная из неклассических логик, в рамках которой действительно фактически производилась достаточно глубокая разработка многих разделов математики. Интуиционистская логика лежит в основе построения многих математических теорий, базирующихся на различных концепциях конструктивности в математике, и позволяет тонко и точно анализировать трудный и важный вопрос о характере существования объектов исследования в математике. Накопленный здесь опыт свидетельствует о поразительном разнообразии возможных оттенков и вариантов различения эффективности в математике. В последней монографии систематически отражены результаты исследований советской школы конструктивной математики, работающей под руководством чл. [49]
КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ, рекурсивный анализ, вычислимый анали з - название, объединяющее различные течения в основаниях математики и математич. Для исследований первого типа характерно либо использование нестандартных логик, либо существенные ограничения в употреблении традиционных логических и математических средств, в то время как в работах второго типа свободно используются традиционная математика и логика. Конструктивный анализ Бишопа занимает промежуточное положение между интуиционистским анализом и системами, использующими точные концепции алгоритма. В СССР начиная с 50 - х гг. n трудах А. А. Маркова, Н. А. Шанина и их учеников ( см. [15], [16], [19]) интенсивно разрабатывалась система К. Являясь частью конструктивной математики, эта система ( за к-рой ниже для краткости закрепляется термин К. [50]