Cтраница 3
Да -, а /) образуют канонический базис в йг. [31]
Положительный индекс инерции не зависит от выбора канонического базиса. [32]
Ясно, что базисные векторы е т образуют канонический базис относительно осей О ст.. [33]
Фактически мы не только доказали теорему о существовании канонического базиса для квадратичной функции, но и указали алгоритм, позволяющий произвольный базис пространства V перевести в канонический. Алгоритм этот предложен в XVIII веке великим французским математиком Лаг-ранжем. Поэтому описанный выше метод приведения квадратичной функции к каноническому виду называется методом Лагран-жа. Метод Лагранжа фактически сводится к методу выделения полных квадратов, описанному в разделе I доказательства. Если же процесс выделения полных квадратов останавливается на некотором этапе ( может быть, первом) ввиду отсутствия ненулевых коэффициентов на диагонали, то применяется вспомогательное преобразование вида ( 28), после которого вновь можно применить метод выделения полных квадратов. [34]
Непосредственное доказательство равенства ( 10) в случае произвольных канонических базисов ( 7) и ( 9) представляет значительные вычислительные трудности, поэтому будут рассмотрены три частных типа преобразований канонического базиса в канонический базис, причем для каждого отдельного типа преобразования справедливость формулы ( 10) устанавливается довольно легко. В заключение будет показано, что переход от произвольного канонического базиса ( 7) к любому другому каноническому базису ( 9) получается путем последовательного применения рассмотренных частных преобразований. Этим инвариантность вычета 8 будет полностью доказана. [35]
Вид, который принимает квадратичная форма в своем каноническом базисе, называется ее каноническим видом. [36]
Посмотрим теперь, какова матрица оператора А в каноническом базисе. [37]
Для всякой симметричной билинейной формы f на V существует канонический базис. [38]
Если в пространстве L для некоторого преобразования В существует канонический базис, то преобразование В нильпотентно и его высота равна числу векторов в самой длинной серии этого базиса. [39]
Последовательность действий, которые приводят к определению координат векторов искомого канонического базиса и чисел К. [40]
Не требуется, чтобы канонический вид квадратичной формы или ее канонический базис определялись однозначно. Скажем, при произвольной перестановке векторов канонического базиса вновь получается канонический базис. [41]
Пусть w ( L) и F, G обозначают канонический базис я соответствующие матрицы в точке ( А, А) соответственно. Пусть г ( г, Z, А, А) обозначает единственное решение системы (3.3.23), полученное из w ( L), F и G процедурой, описанной выше. [42]
Ортогональные преобразования самосовмещения коммутируют, и, следовательно, обладают общим каноническим базисом. [43]
Формулы ( 24) позволяют найти коэффициенты билинейной формы в каноническом базисе, не вычисляя самого базиса. [44]
Обозначим через / - число серий длины / в некотором каноническом базисе преобразования В. [45]