Cтраница 4
В n - мерном евклидовом пространстве всякая симметричная билинейная форма имеет канонический базис из взаимно ортогональных векторов. [46]
Мы видели в 7.33 а, что в аффинном пространстве ни канонический базис, ни канонический вид квадратичной формы не определены однозначно; вообще говоря, можно было включить в канонический базис формы любой наперед заданный вектор. В евклидовом пространстве и при условии, что рассматриваются только ортогональные и нормированные базисы, положение иное. Дело в том, что вместе с матрицей квадратичной формы, как мы видели, преобразуется и матрица соответствующего симметричного линейного оператора; если найден канонический базис квадратичной формы, то одновременно найден базис из собственных векторов симметричного оператора. При этом коэффициенты квадратичной формы в каноническом базисе ( канонические коэффициенты) совпадают с соответствующими собственными значениями оператора. Но собственные значения оператора А суть корни уравнения let ( А - ХЕ) - 0, которое не зависит от выбора базиса и инвариантно связано с оператором А. Следовательно, совокупность канонических коэффициентов формы ( Ал, х) определена однозначно. [47]